15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 1 
PHẦN I. TÓM TẮT GIÁO KHOA 
A. ðẠI SỐ 
I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
1. Phương trình bậc hai 
Cho phương trình bậc hai 2ax bx c 0 (a 0)+ + = ≠ (3) có 2b 4ac∆ = − . 
1) 0∆ < : (3) vô nghiệm. 2) 0∆ = : (3) có nghiệm kép bx
2a
= − . 
3) 0∆ > : (3) có hai nghiệm phân biệt 
2
1,2
b b b 4ac
x
2a 2a
− ± ∆ − ± −
= = . 
ðịnh lý Vi–et (thuận và ñảo) 
1) Cho phương trình 2ax bx c 0+ + = có hai nghiệm 1 2x , x thì 
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x .x
a
 = + = − = =
. 
2) Nếu biết S x y
P x.y
 = + =
 thì x, y là nghiệm của phương trình 2X SX P 0− + = . 
2. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c 
 1) a 0, 0 :> ∆ > 2) a 0, 0 : 
 x −∞ x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞ 
 f(x) + 0 – 0 + f(x) – 0 + 0 – 
 3) a 0, 0 :> ∆ = 4) a 0, 0 :< ∆ = 
 x −∞ xkép +∞ x −∞ xkép +∞ 
 f(x) + 0 + f(x) – 0 – 
 5) a 0, 0 :> ∆ < 6) a 0, 0 :< ∆ < 
 x −∞ +∞ x −∞ 
 +∞ 
 f(x) + f(x) – 
3. Bảng biến thiên của hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx + c 
 1) a > 0: 2) a < 0: 
 x −∞ 
b
2a
− +∞ x −∞ 
b
2a
− +∞ 
 f(x) +∞ +∞ f(x) Cð 
 CT −∞ −∞ 
4. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với một số 
1) 1 2af( ) 0 x xα < ⇔ < α < 
3) 1 2
0
af( ) 0 x x
S
2
∆ > α > ⇔ α α
2) 1 2
1 2
x x
f( ).f( ) 0
x x
 < α < < βα β < ⇔ α < < β <
4) 1 2
0
af( ) 0 x x
S
2
∆ > α > ⇔ < < α < α
7. Phương trình ñại số bậc cao 
Phương trình bậc n tổng quát có dạng n n 10 1 n 1 n 0a x a x ... a x a 0 (a 0)
−
−+ + + + = ≠ . 
Thông thường ta chỉ giải ñược phương trình bậc 3 trở lên bằng cách nhẩm nghiệm. 
7.1. Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( a 0≠ ) (4) 
1) Phương pháp giải 
Bước 1. Nhẩm 1 nghiệm x = α của (4) (bấm máy tính). 
Bước 2. Chia 3 2ax bx cx d+ + + cho ( x − α ) (dùng sơ ñồ Horner), ñưa (4) về phương trình tích: 
2(x )(ax Bx C) 0− α + + = . 
2) Sơ ñồ Horner 
 a b c d 
α a α a + b = B α B + c = C α C + d = 0 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 2 
7.2. Phương trình bậc bốn ñặc biệt 
a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 ( a 0≠ ) (5) 
Phương pháp giải: ðặt t = x2, t 0≥ . (5) ⇔ at2 + bt + c = 0. 
b) Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + c = b + d (6) 
Phương pháp giải: ðặt t = (x + a)(x + c), ñưa (6) về phương trình bậc 2 theo t. 
c) Phương trình có dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) 
Phương pháp giải: ðặt a bt x
2
+
= + , ñưa (7) về phương trình trùng phương theo t. 
d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 ( a 0≠ ) (8) 
Phương pháp giải 
Bước 1. Chia 2 vế cho x2, 2
2
1 1
(8) a x b x c 0
xx
     ⇔ + + ± + =        
. 
Bước 2. ðặt 1t x
x
= ± , ñưa (8) về phương trình bậc hai theo t. 
8. Bất phương trình hữu tỉ P(x) 0
Q(x)
> 
Bước 1. Lập trục xét dấu chung cho P(x) và Q(x). 
Bước 2. Dựa vào trục xét dấu ñể kết luận nghiệm. 
9. ðiều kiện ñể phương trình có nghiệm trong khoảng (a; b) 
a) ðịnh lý 1 
Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thỏa f(a).f(b) 0< thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (a; b) (ngược lại không ñúng). 
b) ðịnh lý 2 
Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có /f (x) 0> (hoặc /f (x) 0< ) trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x) 0= có không 
quá 1 nghiệm trong (a, b) . 
II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. 
1. Các hằng ñẳng thức cần nhớ 
1) 2 A, A 0A A
A, A 0
 ≥= = − <
; 2) 
2 2
2 2 B 3BA AB B A
2 4
 ± + = ± +   
; 
3) ( )3 3 3(A B) A B 3AB A B± = ± ± ± ; 4) 
2
2 bax bx c a x
2a 4a
  ∆+ + = + −   
. 
2. Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt ñối 
1) 2 2A B A B A B= ⇔ = ⇔ = ± ; 2) B 0A B
A B
 ≥= ⇔  = ±
; 3) A B B A B< ⇔ − < < ; 
4) B 0A B
B A B
 >< ⇔ − < <
; 5) A B> B 0⇔ < B 0
A B A B
 ≥∨ 
. 
3. Phương trình và bất phương trình vô tỉ 
1) A 0 B 0A B
A B
 ≥ ∨ ≥= ⇔  =
; 2) 2A B B 0 A B= ⇔ ≥ ∧ = ; 3) A B 0 A B 0+ = ⇔ = = ; 
4) 
( )2
A 0 B 0 C 0
A B C
A B C
 ≥ ∧ ≥ ∧ ≥+ = ⇔  + =
 ñưa về dạng A B= ; 5) B 0A B
A B
 ≥> ⇔  >
; 
6) 
2
A 0 B 0
A B
A B
 ≥ ∧ >< ⇔  <
; 7) 
2
B 0B 0
A B
A 0 A B
 ≥ ⇔ ∨  ≥ >  
; 8) 3 3A B A B< ⇔ < ; 
9) 2n 1 2n 1A B A B+ += ⇔ = ; 10) 2n 2n A 0 B 0A B
A B
 ≥ ∨ ≥= ⇔  =
; 11) 2n
2n
B 0
A B
A B
 ≥= ⇔  =
. 
III. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
1. Hàm số mũ y = ax (a > 0) 
1) Miền xác ñịnh D = ℝ 2) Miền giá trị G (0; )= +∞ 
3) 0< a< 1: Hàm nghịch biến trên ℝ 
x x
x x
lim a , lim a 0
→−∞ →+∞
= +∞ = 
4) a > 1: Hàm số ñồng biến trên ℝ 
x x
x x
lim a 0, lim a
→−∞ →+∞
= = +∞ 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 3 
Một số công thức cần nhớ (giả sử các ñiều kiện ñược thỏa) 
1) 0a 1 (a 0)= ≠ ; 2) n
n
1
a
a
− = ; 3) m n m na .a a += ; 4) m n m na : a a −= ; 
5) ( )nm m.na a= ; 6) m m m(ab) a .b= ; 7) 
m m
m
a a
b b
  =   
; 8) 
m
n mna a= . 
2. Hàm số logarit y = logax (0 a 1)< ≠ : y = logax ⇔ x = ay 
1) Miền xác ñịnh D (0; )= +∞ 2) Miền giá trị G = ℝ 
3) 0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên D 
xx 0
lim y , lim y
+ →+∞→
= +∞ = −∞ 
4) a > 1: Hàm số ñồng biến trên D 
xx 0
lim y , lim y
+ →+∞→
= −∞ = +∞ 
Một số công thức cần nhớ (giả sử các ñiều kiện ñược thỏa) 
1) alog xa x= ; 2) ln xe x= ; 3) b blog c log aa c= ; 4) 2na alog x 2n log x= ; 
5) aalog b log bα β
β
=
α
; 6) a
b
1
log b
log a
= ; 7) ca
c
log b
log b
log a
= ; 8) a b alog b.log c log c= ; 
9) a a alog (bc) log b log c= + ; 10) a a a
b
log log b log c
c
  = −   
. 
3. Phương trình và bất phương trình mũ cơ bản 
1) 
f(x)
a
b 0a b
f(x) log b0 a 1
  >= ⇔   =< ≠ 
; 2) f(x) g(x)a a= ⇔
a 1
x : f(x), g(x)
0 a 1
f(x) g(x)
 =∀ ∈ ∈
 < ≠ =
ℝ ℝ
; 
3) 
f(x)
a
b 0
f(x) log ba b
b 00 a 1
x : f(x)
 >   ⇔  ≤< <   ∀ ∈ ∈ ℝ ℝ
; 4) 
f(x)
a
b 0
f(x) log ba b
b 0a 1
x : f(x)
 >  >> ⇔  ≤>   ∀ ∈ ∈ ℝ ℝ
; 
5) 
f(x) g(x)a a
f(x) g(x)
0 a 1
 > ⇔ < < <
; 6) 
f(x) g(x)a a
f(x) g(x)
a 1
 > ⇔ > >
. 
4. Phương trình và bất phương trình logarit cơ bản 
1) a blog f(x) b f(x) a
0 a 1
 = ⇔ = < ≠
; 2) a alog f(x) log g(x) f(x) 0
0 a 1 f(x) g(x)
 = >  ⇔  < ≠ =  
; 
3) a blog f(x) b 0 f(x) a
0 a 1
 > ⇔ < < < <
; 4) a blog f(x) b f(x) a
a 1
 > ⇔ > >
; 
5) a alog f(x) log g(x)
0 a 1
 > < <
⇔ 0 < f(x) < g(x); 6) a alog f(x) log g(x)
a 1
 > >
⇔ f(x) > g(x) > 0. 
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Nhắc lại: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
 + = + =
. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 4 
ðặt 1 1
2 2
a b
D
a b
= , 1 1x
2 2
c b
D
c b
= , 1 1y
2 2
a c
D
a c
= . 
1) D 0≠ : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x
y
x D / D
y D / D
 = =
. 
2) xD 0, D 0= ≠ hoặc yD 0≠ : Hệ phương trình vô nghiệm. 
3) D = Dx = Dy = 0: Hệ có vô số nghiệm thỏa a1x + b1y = c1 hoặc a2x + b2y = c2. 
1. Hệ phương trình ñẳng cấp 
Phương pháp chung 
1) Nhận xét y = 0 có thỏa hệ phương trình không, nếu có tìm x và thu ñược nghiệm. 
2) Với y 0≠ , ñặt x ty= thay vào hệ phương trình giải tìm t, y và x. 
3) Thử lại nghiệm. 
Ví dụ: 
2 2
2 2
x xy y 1
2x xy y 2
 + + =
 − + =
, 
3 3
2 2
y x 7
2x y 3xy 16
 − =
 + =
. 
2. Hệ phương trình ñối xứng loại I (cả 2 phương trình ñều ñối xứng) 
Phương pháp chung 
1) Xét ñiều kiện, ñặt S = x + y, P = xy 2(S 4P)≥ . 
2) Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y. 
Ví dụ: 
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35
 + =
 + =
. 
3. Hệ phương trình ñối xứng loại II 
a. Dạng 1 (ñổi vị trí x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia) 
Phương pháp chung 
Cách 1. Trừ hai phương trình cho nhau, ñưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai 
phương trình của hệ. 
Ví dụ: 
3
3
x 2x y
y 2y x
 + =
 + =
, 
2x 3 4 y 4
2y 3 4 x 4
 + + − =
 + + − =
. 
Cách 2 (nếu cách 1 không thực hiện ñược) 
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình ñưa về hệ mới tương ñương gồm hai phương trình tích (thông thường tương ñương với 4 
hệ mới). 
Ví dụ: 
3
3
x 2x y
y 2y x
 − =
 − =
. 
Cách 3. Sử dụng hàm số ñơn ñiệu ñể suy ra x = y. 
Ví dụ: 
2x 3 4 y 4
2y 3 4 x 4
 + + − =
 + + − =
, 
x sin y
y sin x
 = =
. 
b. Dạng 2 (chỉ có 1 phương trình ñối xứng) 
Cách 1 
ðưa phương trình ñối xứng về dạng tích, giải y theo x thế vào phương trình còn lại. 
Ví dụ: 
2
1 1
x y
x y
2x xy 1 0
 − = − − − =
. 
Cách 2 
Thường ñưa về dạng f(x) f(y) x y= ⇔ = với hàm f(x) ñơn ñiệu. 
Ví dụ: 
x y
2
e e y x
x y 3y 18 0
 − = −
 − − =
. 
4. Hệ phương trình chứa mũ – logarit và dạng khác 
Tùy từng trường hợp cụ thể chọn phương pháp thích hợp (thường dùng phương pháp thế). 
V. BẤT ðẲNG THỨC CAUCHY 
1. Bất ñẳng thức Cauchy hai số 
Cho hai số không âm a và b, ta có: a b ab.
2
+
≥ ðẳng thức xảy ra khi a = b. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 5 
2. Bất ñẳng thức Cauchy n số 
Cho n số không âm a1, a2,, an ta có: 1 2 n n 1 2 n
a a ... a
a .a ...a
n
+ + +
≥ . ðẳng thức khi a1 = a2 =  = an. 
Chú ý: 
Bất ñẳng thức Cauchy ngược 
n
1 2 n
1 2 n
a a ... a
a .a ...a
n
 + + +  ≤    
. 
VI. SỐ PHỨC 
1. Số phức và các phép tính cơ bản 
a) ðịnh nghĩa số phức 
Mỗi biểu thức dạng a bi+ , trong ñó a, b ∈ ℝ , 2i 1= − ñược gọi là một số phức. 
ðối với số phức z a bi= + , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z. 
Tập hợp các số phức ký hiệu là { }2a bi a, b , i 1= + ∈ = −ℂ ℝ . 
b) Số phức bằng nhau 
a bi c di a c+ = + ⇔ = và b d= . 
c) Biểu diễn hình học số phức 
Mỗi số phức z a bi= + hoàn toàn 
ñược xác bởi một cặp số thực (a; b) . 
ðiểm M(a; b) trong hệ tọa ñộ vuông góc 
Oxy ñược gọi là ñiểm biểu diễn số phức 
z a bi= + . 
d) Môñun của số phức 
Giả sử số phức z a bi= + ñược biễu 
diễn bởi ñiểm M(a; b) trên mặt phẳng 
tọa ñộ Oxy. 
ðộ dài của OM

 ñược gọi là môñun của 
số phức z và ký hiệu là z . 
Vậy 2 2a bi a b+ = + . 
e) Số phức liên hợp 
Cho số phức z a bi= + . Ta gọi 
a bi− là số phức liên hợp của z và ký 
hiệu là z a bi= − . 
NHẬN XÉT 
1) Trên mặt phẳng tọa ñộ ñiểm biểu diễn 
hai số phức liên hợp ñối xứng với nhau 
qua trục Ox. 
2) z a bi z a bi z a bi= + ⇒ = − ⇒ = + hay z z= . 
3) 2 2 2 2z a ( b) a b z= + − = + = . 
f) Các phép tính cơ bản 
1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. 
3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; 4) z z (a bi) (a bi) 2a+ = + + − = ; 
5) 22 2z.z (a bi)(a  ... hân 
0
2
1
dx
I
2x 4x 2−
=
− − +∫
. 
Câu IV (1,0 ñiểm) 
Cho khối lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có diện tích ñáy S = 30cm2 và AA’ = 10cm. Một mặt phẳng 
(P) cắt các cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại A1, B1, C1. Biết AA1 = 3cm, BB1 = 4cm và CC1 = 5cm. 
Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ ñược phân chia bởi (P). 
Câu V (1,0 ñiểm) 
Cho 2 số thực x, y thỏa x2 + y2 + xy = 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
4 4 3 3 2M x y x y 2xy(x y) 3xy= + + − + + . 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) 
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 
1. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 ñiểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ABC∆ có cạnh AC ñi qua ñiểm M(0;– 1). Cho biết 
AB = 2AM, ñường phân giác trong (AD): x – y = 0, ñường cao (CH): 2x + y + 3 = 0. 
 Tìm tọa ñộ các ñỉnh của ABC∆ . 
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, hãy viết phương trình của ñường thẳng d ñi qua ñiểm 
M(3;–1;–4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng (P): 2x + y = 0. 
Câu VII.a (1,0 ñiểm) 
Cho tập hợp A có n phần tử (n > 6), biết số tập hợp con chứa 6 phần tử của A bằng 21 lần số tập 
hợp con chứa 1 phần tử của A. Tính số tập hợp con lớn nhất chứa k (0 k n≤ ≤ ) phần tử của A. 
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 ñiểm) 
 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng: 
1
x 7 3t
d : y 2 2t
z 1 2t
 = + = + = −
 và 
2
x 1 y 2 z 5
d :
2 3 4
− + −
= =
−
. 
1. Chứng minh rằng d1 và d2 ñồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2. 
2. Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi (P) và 3 mặt phẳng tọa ñộ. 
Câu VII.b (1,0 ñiểm) 
Xét tổng 0 1 2 n
n n n n
S (n 3)C (n 2)C (n 1)C ... 3C= + + + + + + + với n 4, n≥ ∈ Z . 
Tính n, biết S 8192= . 
Hết.. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 37 
ðỀ SỐ 12 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) 
Câu I (2,0 ñiểm) 
 Cho hàm số 4 2y x 2x 1= − + + có ñồ thị là (C). 
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ ñồ thị (C). 
2. Tìm những ñiểm M trên trục tung sao cho từ ñó vẽ ñược 4 tiếp tuyến ñến ñồ thị (C). 
Câu II (2,0 ñiểm) 
1. Giải phương trình: ( )
2
3 4 2 sin 2x
2 3 2 cotgx 1
sin 2xcos x
+
+ − = + . 
2. Giải bất phương trình: 2 2
1 3
log x log x
2 22x 2≥ . 
Câu III (1,0 ñiểm) 
Tính tích phân 
1 3
2
0
x
I dx
x x 1
=
+ +
∫ . 
Câu IV (1,0 ñiểm) 
Cho ABC∆ cân tại A, nội tiếp trong ñường tròn tâm O bán kính R = 10cm và  0A 120= . Trên 
ñường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy ñiểm S sao cho SA 5 3cm= . Gọi I là trung 
ñiểm BC. Tính số ño góc giữa SI với (ABC) và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. 
Câu V (1,0 ñiểm) 
Tìm ñiều kiện của m ñể phương trình sau có nghiệm thực thuộc ñoạn 1; 1 3 +   : 
( )2m x 2x 2 1 x(2 x) 0− + + + − = . 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) 
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 
1. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 ñiểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñường tròn 2 2
1
(C ) : x y 10x 0+ − = và 
2 2
2
(C ) : x y 4x 5 0+ + − = . Viết phương trình tiếp tuyến chung ngoài của (C1) và (C2). 
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – y + 2 = 0 và hai ñiểm A(0; 1; 2), 
 B(– 1; 1; 0). Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên mặt phẳng (P) sao cho MAB∆ vuông cân tại B. 
Câu VII.a (1,0 ñiểm) 
 Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển nhị thức ( )122x 3x 4− − . 
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 ñiểm) 
 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng 
1
x t
d : y 3t
z 4
 = − = =
 và 
2
x t
d : y 3t
z 0
 = = =
 cắt 
 mặt phẳng (P): y – 3 = 0 lần lượt tại A, B. 
1. Tính 
OAB
S∆ và chứng tỏ hai ñường thẳng d1 và d2 chéo nhau. 
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1, d2 và có khoảng cách ñến d1 gấp 3 lần 
 khoảng cách ñến d2. 
Câu VII.b (1,0 ñiểm) 
 Tìm số phức z thỏa ñẳng thức: 
( )
2
3 1 i 1 3
z
1 i
+ + −
=
+
. 
Hết.. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 38 
ðỀ SỐ 13 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) 
Câu I (2,0 ñiểm) 
 Cho hàm số 3 2 2 2y x (2m 1)x (m 6m)x m 4m= − − + − + − (1), m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 
2. Tìm trên ñường thẳng x =1 những ñiểm từ ñó kẻ ñúng hai tiếp tuyến ñến (C). 
Câu II (2,0 ñiểm) 
1. Giải phương trình: 32cos x sin x cos x 1 2(sin x cos x)+ + = + . 
2. Giải hệ phương trình: ( )
3
2 x
x log y 3
2y y 12 .3 81y
 + = − + =
. 
Câu III (1,0 ñiểm) 
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số: xy e 1= + , trục hoành và hai ñường 
thẳng x = ln3, x = ln8. 
Câu IV (1,0 ñiểm) 
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a. Mặt phẳng (SAB) 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện S.ABD. 
Câu V (1,0 ñiểm) 
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
( ) ( ) ( )3 3 3a b c b c a c a b
P
4c 4a 4b
+ − + − + −
= + + . 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) 
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 
1. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 ñiểm) 
 1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai ñiểm A(1; 0), B(3; −1) và ñường thẳng (d): x − 2y −1 = 0. 
 Tìm ñiểm C thuộc (d) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. 
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng 
1
x y z
d :
1 1 2
= = , 
2
x 1 y z
d :
2 1 1
+
= =
−
 và mặt phẳng ( )P : x y z 0− + = . 
 Tìm tọa ñộ hai ñiểm 
1
M d∈ , 
2
N d∈ sao cho ( )MN P	 và MN 2= . 
Câu VII.a (1,0 ñiểm) 
 Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10(x + 1)10. 
 Từ ñó suy ra giá trị của tổng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 1010 10 10 10S C C C ... C= + + + + . 
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 ñiểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ∆ABC với B(– 6; 0), C(6; 0). 
 Tìm tọa ñộ của ñỉnh A biết 1cosA
10
= − và ñộ dài ñường cao AH = 4. 
2. Trong không gian Oxyz cho 2 ñường thẳng chéo nhau 
1
x 0
d : y t
z 0
 = = =
 và 
2
x t
d : y t
z 1 t
 = = = +
. 
 Viết phương trình mặt cầu (S) có ñường kính là ñoạn vuông góc chung của d1 và d2. 
Câu VII.b (1,0 ñiểm) 
 Tìm số phức z thỏa: 3z i= − . 
Hết.. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 39 
ðỀ SỐ 14 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) 
Câu I (2,0 ñiểm) 
 Cho hàm số 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1= − + + + + (1), m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 
2. Tìm giá trị của tham số m ñể trên ñồ thị của hàm số (1) có ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu ñối 
 xứng với nhau qua ñường thẳng (d): y = x + 2. 
Câu II (2,0 ñiểm) 
1. Giải phương trình: 3 3 31 sin 2x cos 2x sin 4x
2
+ + = . 
2. Giải phương trình: x x 1 213
3
3log 2 1 . log 2 2 2 log( ) 2( 0)
++ + =+ . 
Câu III (1,0 ñiểm) 
 Tính tích phân 
3e
2
e
1 ln x
I dx
ln x
−
= ∫ . 
Câu IV (1,0 ñiểm) 
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 3a. ðáy ABCD là hình 
bình hành, AB = a, BC = 2a và  0ABC 60= . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của BC và SD. 
Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SAB). Tính thể tích khối tứ diện ACMN theo a. 
Câu V (1,0 ñiểm) 
 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa ñẳng thức 1 1 1 1
x y z
+ + = . 
 Chứng minh bất ñẳng thức: 
2 2 2x y z x y z
x yz y zx z xy 4
+ +
+ + ≥
+ + +
. 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) 
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 
1. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 ñiểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 2x = 0. Từ ñiểm M(1; 4) vẽ 2 
 tiếp tuyến MA, MB với (C) (A, B là 2 tiếp ñiểm). 
 Viết phương trình ñường thẳng AB và tính ñộ dài dây cung AB. 
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñiểm A(1;–1; 3), B(2; 4; 0) và mặt cầu 
2 2 2(S) : x y z 2x 4z 1 0+ + − + + = . Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và cắt mặt 
 cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn có bán kính bằng 2. 
Câu VII.a (1,0 ñiểm) 
 Tìm số hạng chứa 5x trong khai triển 2 3 10(1 x x x )+ + + . 
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 ñiểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho (C1): x2 + y2 = 16 và (C2): x2 + y2 – 2x = 0. 
 Viết phương trình ñường tròn tâm I, xI = 2 tiếp xúc trong với (C1) và tiếp xúc ngoài với (C2). 
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2(S) : x y z 2x 4y 6z 0+ + − − − = . 
 Gọi giao ñiểm của (S) với 3 trục tọa ñộ là A, B, C (khác O). 
 Xác ñịnh tâm K của ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ . 
Câu VII.b (1,0 ñiểm) 
 Cho ñẳng thức: n 1 n 2 n 3 2n 1 2n 82n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C C 2 1
+ + + −
+ + + + ++ + + + + = − (n , n 4∈ ≥ℕ ). 
 Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển và rút gọn biểu thức 3 4 n(1 x x x )− + − . 
Hết.. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 40 
ðỀ SỐ 15 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) 
Câu I (2,0 ñiểm) 
 Cho hàm số 2x 1y
x 1
−
=
−
 có ñồ thị là (C). 
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ ñồ thị (C). 
2. Gọi I là giao ñiểm hai tiệm cận của (C). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) 
tại M vuông góc với ñường thẳng IM. 
Câu II (2,0 ñiểm) 
1. Giải phương trình: 8 8 1cos x sin x
8
+ = . 
2. Giải hệ phương trình: 2 3
2 3
log x 3 5 log y 5
3 log x 1 log y 1
 + − =
 − − = −
. 
Câu III (1,0 ñiểm) 
 Tính tích phân 
e
2
1
e
ln x
I dx
(x 1)
=
+∫
. 
Câu IV (1,0 ñiểm) 
Cho hình nón có bán kính ñáy R = 10cm và thiết diện qua trục là tam giác ñều. Một hình trụ nội 
tiếp hình nón có thiết diện qua trục là hình chữ nhật có hai cạnh song song với trục hình trụ dài gấp 
ñôi hai cạnh còn lại. Tính thể tích của khối trụ. 
Câu V (1,0 ñiểm) 
Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa x y z 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
xy yz zx
P
1 z 1 x 1 y
= + +
+ + +
. 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) 
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 
1. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 ñiểm) 
1. Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ vuông tại A(1; 0) và (BC): y – 2 = 0. ðường tròn (C) tâm A 
 tiếp xúc (BC) cắt cạnh AC tại trung ñiểm M. Tìm tọa ñộ của B và C. 
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng 
1
x y z 4
d :
1 1 2
+
= =
− −
 và 2
x 1 y z 1
d :
3 1 2
− −
= =
−
. 
 Viết phương trình hai mp lần lượt chứa d1, d2 và song song với nhau. 
Câu VII.a (1,0 ñiểm) 
 Tìm số phức z thỏa: 2z 2 2 3.i= − . 
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 ñiểm) 
 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho 3 ñường thẳng (d1): x – 3y = 0, 2(d ) : 2x y 5 0+ − = 
 và (d3): x – y = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh hình vuông ABCD biết A, C lần lượt thuộc (d1), (d2) và 
 hai ñỉnh còn lại thuộc (d3). 
2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho ba ñường thẳng: 
1
x y z 4
d :
1 1 2
+
= =
− −
, 2
x 1 y z 1
d :
3 1 2
− −
= =
−
 và 3
x y z
d :
3 2 7
= =
−
. 
 Viết phương trình ñường thẳng cắt d1, d2 và song song với d3. 
Câu VII.b (1,0 ñiểm) 
 Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2008 2009 20092009 2009 2009 2009 4018C C ... C C C+ + + + = . 
Hết..