Vấn đề Hệ phương trình - Hệ bất phương trình chứa trị tuyệt đố

 129
C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG 
TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI. 
Ví dụ 1: 
Giải hệ phương trình : 
2 2x 2xy 3y 0 (1)
x x y y 2 (2)
⎧ + − =⎪⎨ + = −⎪⎩
Giải 
(1) Xem như phương trình bậc 2 ẩn x: 
2 2 2 x y' y 3y 4y
x 3y
=⎡∆ = + = ⇔ ⎢ = −⎣
Hệ 
x y x y
y y y y 2 y y 1
x 3y 8y y 2
3y 3y y y 2 x 3y
⎡ ⎡= =⎧ ⎧⎪ ⎪⎢ ⎢⎨ ⎨+ = − = −⎪ ⎪⎢ ⎢⎩ ⎩⇔ ⇔⎢ ⎢= −⎧ ⎧ =⎪ ⎪⎢ ⎢⎨ ⎨⎢ ⎢− − + = − = −⎪ ⎪⎢ ⎢⎩ ⎩⎣ ⎣
x y 1
3x
2
1y
2
= = −⎡⎢⎧⎢ = −⎪⇔ ⎢⎪⎨⎢⎪⎢ =⎪⎢⎩⎣
Ví dụ 2: 
Cho hệ bất phương trình: 
2y x x 1 0 (1)
y 2 x 1 1 0 (2)
⎧ − − − ≥⎪⎨ − + + − ≤⎪⎩
a. Giải hệ khi y = 2 
b. Tìm nghiệm nguyên của hệ. 
Giải 
a. Khi y = 2: Hệ 
2 2x x 1 1 x x 1
1 x 1 1x 1 1
⎧ − ≤ ⎧− ≤ − ≤⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− ≤ + ≤⎪+ ≤⎪ ⎩⎩
2
2
x x 1 0
1 5 x 0x x 1 0 2
2 x 0
⎧⎧ − − ≤⎪⎪ −⎨⎪⇔ ⇔ ≤ ≤⎨ − + ≥⎪⎩⎪− ≤ ≤⎪⎩
b. Ta có: 2(1) y 1 x x 1⇔ ≥ + − ≥ 
(2) y 2 1 x 1 1⇔ − ≤ − + ≤ 
 130
y 1 y 1
1 y 3
y 2 1 1 y 2 1
≥⎧ ≥⎧⎪⇒ ⇔ ⇔ ≤ ≤⎨ ⎨− ≤ − ≤ − ≤⎪ ⎩⎩
. y = 1 thì hệ VN 
. y = 2 thì 1 5 x 0
2
− ≤ ≤ 
. y = 3 thì x = - 1 
Vậy nghiệm nguyên của hệ: (0, 2), (-1, 3) 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 
Định m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
2
3 2
x 3x 4 0 (1)
x 3x x m 15m 0 (2)
⎧ − − ≤⎪⎨ − − − ≥⎪⎩
 131
HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT 
3 2
(1) 1 x 4
(2) x 3x x m 15m
⇔ − ≤ ≤
⇔ − ≥ + 
Đặt 
3 2
3
3 2
x 3x ,với 1 x 0
f(x) x 3x x
x 3x ,với 0 x 4
⎧ + − ≤ <⎪= − = ⎨ − ≤ ≤⎪⎩
[ )
[ ]
2
2
3x 6x, x 1,0
f '(x)
3x 6x, x 0,4
⎧ + ∈ −⎪= ⎨ − ∈⎪⎩
Bảng biến thiên: 
Hệ có nghiệm 2m 15m 16 1 m 16⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ .