Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 1 
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 Hình học nói chung và hình không gian lớp 11 nói riêng là một chuyên đề tương đối 
khó với đa số học sinh. Khó khăn này bao gồm nhiều nguyên nhân, nhưng nhìn chung là do 
các em chưa được chuẩn bị kĩ càng và đầy đủ về phương pháp, thuật toán để giải bài toán. Do 
vậy, chúng tôi viết chủ đề này với mục đích trang bị, hệ thống cho các em một phương pháp 
tốt để giải quyết một lớp các bài toán hình học. 
A-MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: (Kỳ thi Đại Học toàn quốc) 
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với 
gốc của tọa độ với ( ) ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , ' 0;0; 0, 0B a D a A b a b> > . Gọi M là trung điểm cạnh 
CC’. 
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo , .a b 
b) Xác định tỷ số a b để 2 mp(A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. 
Bài tập 2: Cho tứ diện OABC với ( ) ( ) ( ) ( )0;0; 3 , ;0;0 , 0; 3;0 0A a B a C a a > . Gọi M là 
trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM. 
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. 
Biết ( ) ( ) ( )2;0;0 , 0;1;1 , 0;0;2 2A B S . Gọi M là trung điểm SC. 
a) Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM. 
b) Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp 
S.ABMN. 
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ( ) ( ) ( );0;0 , ;0;0 , 0;1;0 ,A a B a C- 
( )' ;0;B a b- ( )0, 0a b> > . 
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’C và AC’ theo , .a b 
b) Cho , a b thay đổi, nhưng luôn thỏa 4.a b+ = Tìm , a b để khoảng cách giữa 2 
đường thẳng B’C và AC’ lớn nhất. 
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với ( ) ( ) ( )0; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 , A B C- 
( )' 4;0;4B . 
a) Xác định tọa độ A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với 
mp(BCC’B’). 
b) Gọi M là trung điểm A’B’. Viết phương trình mp(P) qua 2 điểm A, M và song song 
BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ tại N. Tính độ dài MN. 
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc O. Biết 
( ) ( ) ( )2; 1;0 , 2; 1;0 , 0;0;3 .A B S- - - 
a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với 2 
đường thẳng AD và SC. 
b) Gọi (P) là mp qua B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp 
S.ABCD với mp(P). 
Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với ( ) ( ) ( )0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , A B D 
( )' 0;0;1 .A Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’C và MN. 
 b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(Oxy) một góc q với 1cos
6
=q 
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 2 
Bài tập 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ( ) ( ) ( )0;0;0 , 2;0;0 , 0;2;0 , A B C 
( )' 0;0;2 .A 
a) Chứng minh: A’C ^ BC’. Viết phương trình mp(ABC’) 
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C lên mp(ABC’). 
B-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: 
I- Sự cần thiết của phương pháp: 
 + Xuất phát từ nhu cầu: có phương pháp hiệu quả hơn trong việc giải quyết các bài tập 
HHKG11. 
 + Học sinh thường ngại và lúng túng khi gặp bài toán toán HHKG thuần túy. 
 + Đáp ứng yêu cầu phát triển tư duy và nâng cao trình độ cũng như chất lượng bài học 
ở trường THPT. 
 + Giải quyết kịp thời những yêu cầu giảng dạy và học Toán trong tình hình mới. 
II- Tư duy thuật toán: 
 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz. 
 Suy ra tọa độ các điểm liên quan (phụ thuộc theo giả thiết độ dài) 
 Bước 2: Chuyễn ngôn ngữ (yêu cầu đề bài) hình học thuần túy sang ngôn ngữ 
 (kỹ năng) tọa độ Oxyz. 
II- KỸ NĂNG CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ: 
Loại I-TAM DIỆN: 
1-Tam diện vuông 2- Tam diện có 1 góc vuông 
1
11
z
yx
O
C
1
11
z
yx
O
Ta có thể chọn hệ tọa độ chứa góc phẳng 
đó. 
Loại II -HÌNH CHÓP: 
1-Hình chóp đều S.ABC 
Gốc O trùng với trọng tâm G của đáy, Oz trùng 
với đường cao của hình chóp. 
C
B
A
S
z
x
y
G
Đáy của chóp đều S.ABC: 
H
y
Gx
A
B C
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 3 
2-Hình chóp đều S.ABCD 
Cách chọn 1: Cách chọn 2: 
Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, Oz 
trùng với đường cao của hình chóp. 
O
D C
S
z
x
B yA 
Đáy của chóp đều S.ABCD: 
x y
O
A B
CD
Gốc O trùng với tâm của hình vuông 
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình 
chóp. 
y
xA B
z
S
CD
O
Đáy của chóp đều S.ABCD: 
x
D C
BA
O y
3- Hình chóp S.ABCD có ( )^SA ABCD : 
3-1) Đáy ABCD là hình chữ nhật 3-2) Đáy ABCD là hình thoi, 060=BAC 
Gốc O trùng với đỉnh A của hình chữ nhật 
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình chóp. 
z
S
A
D
B
C
y
x
Đáy của chóp S.ABCD: 
x
yA
B C
D
Gốc O trùng với đỉnh A của hình thoi 
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình 
chóp. 
O
S
A
B
C
D
y
z
x
Đáy của chóp S.ABCD: 
x
y
300
600
A
B
C
D
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 4 
4- Hình chóp S.ABC có ( )^SA ABC : 
4-1) Đáy ABC là tam giác vuông tại A. 4-2) Đáy ABC là tam giác vuông tại B. 
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz 
trùng với đường cao của hình chóp. 
S
A
B
x
z
C y
Đáy của chóp S.ABC: 
A
B
C
y
x
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, 
Oz trùng với đường cao của hình chóp. 
C
S
z
A B x
y
Đáy của chóp S.ABC: 
B
x
A
C
y 
4-3) Đáy ABC là tam giác đều. 4-3) Đáy ABC là tam giác cân tại A có 
0120=BAC . 
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz 
trùng với đường cao của hình chóp. 
S
z
A
yC
B
x
300
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, 
Oz trùng với đường cao của hình chóp. 
S
z
A
300
xB
C
y
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 5 
Đáy của chóp S.ABC: 
A
y
C
B
x
300
Đáy của chóp S.ABC: 
A
BC
y
x
300
5- Hình chóp S.ABCD có ( ) ( )SAB ABCD^ 
5-1 Đáy là hình chữ nhật ABCD. 5-2 Đáy là hình thoi ABCD có góc 
0120=BAD 
Gốc O trùng với trung điểm của cạnh AB, Oz 
trùng với đường cao của hình chóp. 
I
D
S
z
A
B
x
C
y
Đáy của chóp S.ABCD: 
I
D
CB
A
y
x
Gốc O trùng với trung điểm của cạnh AB, 
Oz trùng với đường cao của hình chóp. 
600
z
S
I
A
x
B
D
yC
Đáy của chóp S.ABCD: 
C
y
D
x
B
I
A 60
0
Loại III- HÌNH LĂNG TRỤ: 
1- Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ 2- Hình lăng trụ tứ giác đều 
ABCD.A’B’C’D’ 
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều 
ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng 
trụ. 
Gốc O trùng với đỉnh A của hình vuông 
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng 
trụ. 
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 6 
C'A'
B'
A
B
C y
x
z
300
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’: 
300
x
B
C
y
A
D'
D
B
A
C
C'
A'
B'
z
y
x
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: 
D C
BA
O
y
x
3- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có 
đáy làm tam giác ABC có 0120=BAC . 
4- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có 
đáy làm tam giác ABC có 0120=BAD . 
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều 
ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng 
trụ. 
A'
C'
B'
y
C
B
x
300
A
z
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều 
ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng 
trụ. 
A'
B'
C'
D'
O'
x
z
y
D
C
B
A
O
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 7 
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’: 
300
x
y
C B
A
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: 
D
C
B
A
600
300
y
x
5- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu 
của A’ trùng với tâm đáy và ABCΔ vuông. 
6- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu 
của A’ trùng với tâm đáy và ABCΔ đều. 
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, 
Oz trùng với đường cao của lăng trụ. 
I
A
B
C
B'
C'A'
z
y
x 
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’: 
x
y
C
B
A
Gốc O trùng với trọng tâm G của tam giác 
ABC, Oz trùng với đường cao của lăng trụ. 
z
B'
C'A'
G
y
x
A
B
C
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’: 
CB
A
x G
y
H
7- Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’: 8- Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’: 
Gốc O trùng với đỉnh A của hình chữ nhật 
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng 
trụ. 
x
y
z
B'
A'
C'
C
A
B
D
D'
Gốc O trùng với đỉnh A của hình vuông 
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng 
trụ. 
D'
D
B
A
C
C'
A'
B'
z
y
x
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 8 
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: 
D
CB
A y
x
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: 
y
O
A B
CD
x
III- Chuyển ngôn ngữ hình học thuần túy sang ngôn ngữ tọa độ: 
Ngôn ngữ Hình Học Ngôn ngữ Tọa độ 
1) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 
vuông góc 
d1 có vectơ chỉ phương ( )1 1 2 3; ;u x x x

. 
d2 có vectơ chỉ phương ( )2 1 2 3; ;u y y y

. 
Ycbt: 1 2. 0u u =
 
1 1 2 2 3 3 0x y x y x yÛ + + = 
2) Xác định góc giữa hai đường thẳng 
1 2
1 2
.
cos
.
u u
u u
=
 
 a 
3) Chứng minh 2 đường thẳng d1 và d2 
song song 1 2
1 2
u ku
A d A d
=ì
í Î Þ Ïî
 
 hoặc 
[ ]1 2
1 2
, 0u u
A d A d
ì =ï
í
Î Þ Ïïî
 
4) Tính diện tích tam giác ABC 1 ,
2ABC
S AB ACé ù= ë û
 
5) Tính diện tích tứ giác ABCD 1 1, ,
2 2ABCD ABC ACD
S S S AB AC AC ADé ù é ù= + = +ë û ë û
   
6) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
chéo nhau 1d và 2d [ ]
[ ]
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
; 
, .
d( ; )
,
Î Î
Þ =
 
 
M d M d
u u M M
d d
u u
7) Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt 
phẳng 
( )
( )
0 0 0 0
0 0 0
0 2 2 2
( ; ; ); : 0
d ;( )
M x y z P ax by cz d
ax by cz d
M P
a b c
+ + + =
+ + +
Þ =
+ +
8) Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 
đường thẳng 
0 0 0 0( ; ; );M x y z d có 1vtcp ( )1 2 3; ; ;a a a a N dÎ
 
0
0
,
( ; )
M N a
d M d
a
é ùë ûÞ =
 
 
9) Tính thể tích hình chóp S.ABC 
.
1 ,
6S ABC
V SA SB SCé ù= ë û
  
10) Tính thể tích hình chóp S.ABCD . . .
1 1 , ,
6 6
S ABCD S ABC S ACDV V V
SA SC SB SA SC SD
= +
é ù é ù= +ë û ë û
      
11) Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 
. ' ' ' ' , 'ABCD A B C DV AB AD AAé ù= ë û
  
12) Chứng minh ( )CK MNP^ 
Chỉ rõ 
. 0
. 0
CK MN
CK MP
ì =ï
í
=ïî
 
  
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 9 
13) Chứng minh ( )//PH ABC 
Chỉ rõ ( )
( )
. 0ABCPH n
P ABC
ì =ï
í
Ïïî
 
*Lưu ý: Các yêu cầu khác thì chuyển tương tự. 
C- BÀI TẬP MINH HỌA: 
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= 3a , (a>0) và 
đường cao OA= 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng AB và OM. 
Hướng dẫn: 
Cách 1: Ứng dụng tọa độ 
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó: 
O(0;0;0), (0;0; 3); ( ;0; ... 3SA AB a= = . 
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. 
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , 2 ;0;0 , 0;2 ;0 , 2 ;0;2 3B A a C a S a a 
( ) ( );0;0 , ; ;0 .M a N a aÞ 
Ta có: 
( )
( )
( )
( )2
2 ;0;2 3
;0;0 , 0;0;
; ;0
BS a a
BM a BM BN a
BN a a
ì =
ï
ï é ù= Þ =í ë ûï
=ïî

  

Suy ra: 3.
1 3
. ,
6 3S BMN
V BS BM BN aé ù= =ë û
  
 (đ.v.t.t) 
Tương tự: 3.
1 2 3
. ,
6 3S BNC
V BS BN BC aé ù= =ë û
  
(đ.v.t.t) 
2a
a
M
D
300
z
x
yB
C
A
B1
A1 C1
z
y
600
M 2a
S
CA
B
x
2a
N
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 16 
Lúc đó: 3. . . 3S BCNM S BNM S BCNV V V a= + = (đ.v.t.t) 
* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo .a 
Ta có: 
( )
( ) ( )
2 2
2 ;0;0
, 0;4 3 ;2
; ; 2 3
BA a
BA SN a a
SN a a a
ì =ï é ùÞ =í ë û= - -ïî

 
 và ( )2 ;0;2 3BS a a= . 
Lúc đó: ( )
3. , 4 3 2 39
d ;
1352,
BS BA SN a a
SN AB
aBA SN
é ùë û= = =
é ùë û
  
  . 
D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Loại I: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC 
Bài tập 1: (Trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc 
(ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). 
Bài tập 2: Cho DABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng 
vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H 
là hình chiếu của A trên EF. 
a) Chứng minh H là trung điểm của SD. 
b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 
c) Tính thể tích hình chóp A.BCFE. 
Bài tập 3: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau 
từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là 
hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB). 
a) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 
b) Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. 
Bài tập 4: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi , , a b g lần lượt là 
góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC). 
a) Chứng minh H là trực tâm của DABC. 
b) Chứng minh 2 2 2 2
1 1 1 1 .
OH OA OB OC
= + + 
c) Chứng minh 2 2 2cos cos cos 1.+ + =a b g 
d) Chứng minh cos cos cos 3.+ + £a b g 
Bài tập 5: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi 
một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. 
a) Tính góc j giữa (OMN) và (OAB). 
b) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ANPD . 
c) Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 2 2 2
1 1 1 .
a b c
= + 
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. 
Biết AB = 2, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 060 . 
a) Tính độ dài SA. 
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 
c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). 
Bài tập 7: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi 
một. 
a) Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp. 
b) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 17 
Bài tập 8: (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với 
nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy 
điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính 
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. 
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA 
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 
a) Tính diện tích MABD theo a. 
b) Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. 
c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). 
Bài tập 10: Cho tứ diện S.ABC có DABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc 
với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 
a) Chứng minh HK vuông góc với CS. 
b) Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 
c) Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 
d) Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. 
Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và 
vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 
b) Tính khoảng cách giữa BC và SD. 
c) Tính cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). 
Bài tập 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và 
3SA a= . 
a) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. 
Bài tập 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. 
Mặt phẳng (a) đi qua AB và vuông góc với SC. 
a) Tìm điều kiện của h theo a để (a) cắt cạnh SC tại K. 
b) Tính diện tích DABK. 
c) Tính h theo a để (a) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. 
Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 
Loại 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC 
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. 
Gọi E là trung điểm CD. 
a) Tính diện tích DSBE. 
b) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 
c) Mặt phẳng (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy 
và 3SA a= . 
a) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 
c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). 
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với 
đáy và 3 2SA = cm. Mặt phẳng (a) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD 
lần lượt tại H, M, K. 
a) Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 
b) Chứng minh BD song song với (a). 
c) Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SACD . 
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 18 
d) Tính thể tích hình khối ABCDKMH. 
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA 
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 
a) Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 
b) Tính khoảng cách giữa SB và CN. 
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 
d) Tìm điều kiện của a và b để 3cos
3
CMN = . Trong trường hợp đó tính thể tích hình 
chóp S.BCNM. 
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SADD đều và vuông góc với 
(ABCD). Gọi H là trung điểm của AD. 
a) Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD). 
b) Mặt phẳng (a) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ (a) cắt các cạnh SB, SD. 
c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). 
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và 
2 3SO a= , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng (a) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, 
SD tại ', ', 'B C D . 
a) Chứng minh ' ' 'B C DD đều. 
b) Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. 
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao 
SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 )m a£ £ . 
a) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBMD lớn nhất, nhỏ nhất. 
b) Cho 
3
am = , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng 
(SAK) và (SBK). 
Loại 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG 
Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm 
của A’D’, BB’, CD, BC. 
a) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 
b) Tính khoảng cách giữa IK và AD. 
c) Tính diện tích tứ giác IKNM. 
Bài tập 2: (Trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. 
Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D]. 
Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho 
(BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. 
Bài tập 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
a) Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). 
b) Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). 
c) Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k ( )0 2 .k a< < 
 c-1) Chứng minh MN song song (A’D’BC). 
 c-2) Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ 
và DB. 
Bài tập 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, 
N thỏa , ' (0 1).AM mAD BN mBB m= = £ £
   
 Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. 
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 
b) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 
Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 19 
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp 'A BDD . 
d) Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm 
AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 
a) Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 
b) Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 
c) Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. 
Bài tập 7: (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có 
đáy hình thoi cạnh a, góc 060 .BAD = Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 
a) Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 
b) Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. 
Bài tập 8: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho 
AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng (a) qua B và vuông góc với B’C. 
a) Tìm điều kiện của a, b, c để (a) cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’). 
b) Cho (a) cắt CC’ tại I. 
 b-1) Xác định và tính diện tích của thiết diện. 
 b-2) Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy. 
CÁC BÀI TẬP KHÁC: 
Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a. 
a) CMR: ' ( ' ')A C AB D^ 
b) CMR: A’C cắt (AB’D’) tại trọng tâm G của ABCD và 1' '3A G A C= 
Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm của BB’ và AD. 
a) Tính khoảng cách giữa 2 đt C’D và MN. 
b) Tính ( ;( ' ))d A C MN 
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Biết AB=b, 
AC=c, AD=d. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. 
a) Tính góc giữa 2 đt AN và DM. 
b) Tính góc giữa AN và mp(DBC). 
c) Tính góc giữa 2mp(ABC)&(DBC). 
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với 
đáy, SA=h. Tính khoảng cách giữa 2 đt AB và SC. 
Bài tập 5: Chohình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA=a, SA vuông góc với đáy. 
Tính khoảng cách giữa 2đt AB và SC. 
Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. 
a) Tính theo a khoảng cách giữa 2 đt A’B và B’D. 
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh A’B, CD, A’D’. Tính góc giữa 
2 đt MP và C’N. 
Bài tập 7: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với đáy (BCD); AC=AD=4 cm, AB=3cm, 
BC=5cm. Tính khoảng cách từ A đến (BCD).