Tích phân các hàm số lượng giác

Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 )
TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC 
1. Thuộc các nguyên hàm :
a/ 	b/ 
c / 	d/ 
2. Đối với : 
a/ Nếu f(x)= thì ta chú ý :
- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )
- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )
- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )
- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )
b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi ....
3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau :
- Biến đổi lượng giác thuần thục 
- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm .
II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005) 	
b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 . 	KQ: 
Giải 
a. 
Đặt : 
Khi đó : 
b. 
Đặt : 
Do đó : 
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 
a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 . 	KQ: 
b. CĐ Bến Tre – 2005 . 	KQ: 
Giải
a. . Đặt : 
Do đó : 
Vậy : 
b. .
 Ta có : 
Cho nên : 
Đặt : 
Vậy : 
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 
a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 . 	
b. CĐ Y Tế – 2006 . 	KQ: 
Giải
a. 
b. 
Vì : 
Do đó : 
Mặt khác : 
Cho nên : 
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau 
a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 . 	KQ: 
b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 . 	KQ: 
Giải
a. . Vì : 
Cho nên : 
Đặt : 
Vậy : 
b. . Đặt : 
Vậy : 
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :
a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 . 	KQ: 2
b. CĐ Bến Tre – 2006 . 
Giải
a. 
b. . 
Ta có : .
Đặt : 
Vậy : 
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau 
a. I =	b. I = 
c. I = 	d. I = 
Giải
a. I =
b. I = 
c. I = 
d. I = . Vì : 
Cho nên : 
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau 
a. I =	b. I =
c. I =	d. */I =
Giải
a. I =
b. I =.
 Đặt : 
Vậy : 
c. I =
Vì : 
Cho nên : 
Vậy : 
d. I = (1)
Đặt : 
Do đó : 
Lấy (1) +(2) vế với vế : 
Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau 
a. (Y-HN-2000)	b. (NT-2000)	c. (NNI-2001)
 d. ( GTVT-2000)	e. 	 f. (KB-03)
Giải
a. . Ta có : 
Do đó : 
* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác : 
Vậy : 
b. . 
Ta có : 
Do đó : 
Đặt : 
Vậy : 
c. 
Ta có : 
Vậy : 
d. 
e. 
f. 
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :
a. 	b. 
c. 
Giải
a. 
b. 
c. Ta có : 
Do : 
Vậy : (1)
- Mặt khác : 
Do đó : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ : 
Để tính K ta đặt 
Vậy : 
Ví dụ 10. Tính các tích phân sau .
 a. ( CĐ-99)	b. (ĐH-LN-2000)
c. (SPII-2000)	d. (MĐC-2000)
Giải
a. 
b. . 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : 
c. 
Ta có : 
Vậy : 
d. .
 Ta có : 
Do đó : 
* Chú ý : Ta còn có cách khác 
f(x)=
Vậy : 
Ví dụ 11. Tính các tích phân sau 
a. (HVBCVT-99) 	b. ( HVNHTPHCM-98)
c. (ĐHNT-01)	d. (ĐHTM-95)
Giải
a. 
Đặt : 
Vậy : 
b. . 
Ta có : 
Vậy : 
c. . 
Vì : 
Vậy : 
d. 
Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .
a. ( HVQHQT-96)	b. (NNI-96)
 c. (NNI-98 )	d. (ĐHTL-97 )
Giải
a. 	
Ta có : 
Cho nên : 
b. 
Hạ bậc : 
Vậy 
d. 
III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG
1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2. 
* Sử dụng công thức : 
Chứng minh :
Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt , 
Do đó : . Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số 
Ví dụ : Tính các tích phân sau 
	a/ 	b/ 	
	c/ 	d/ 
	e/ 	f/ 
Giải
a/ .(1) . Đặt : 
Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :
Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : 
b/ . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :
Vậy : 
c/ . Đặt : 
Hay: 
Vậy : 
d/ (1)
 (2)
Cộng (1) và (2) ta có : 
e/ . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx 
Do đó : 
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. 	2. 	(XD-98 )
3. 	4. ( HVNHTPHCM-2000 )
5. (ĐHKT-97 )	6. ( AN-97 )
7. ( CĐSPHN-2000)	8. ( CĐSPKT-2000 )
9. (ĐHYDTPHCM-2000 )	10. 
* Dạng : 
Cách giải :
Ta phân tích : 
- Sau đó : Quy đồng mẫu số 
- Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C .
- Tính I : 
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ . Tính các tích phân sau :
a. ( Bộ đề ) 	b. ( XD-98 )
c. 	d. I =
Giải
a. . Ta có : 
Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số : 
. Thay vào (1) 
- Tính tích phân J : 
Đặt : . (3)
Tính (3) : Đặt : 
Vậy : 
b. 
Giống như phàn a. Ta có : ;C=0
Vậy : 
Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện .
BÀI TẬP
1. 	2. 
3. 	4. 
5. 	6. 
7. 	8. 
9. 	10. 
11.. ( KA-08)	12.. (KB-08)
13. . (KA-09 )	14. . (KA-2011 )
15. . (KB-2011)	16. . (KA-06)
17. . CĐST-05)	18. .( CĐSPHN-05)
19.. ( CĐHY-06)	20. . CĐSPHN-06)
21.. ( CĐKT-06)