Tài liệu ôn thi ĐH, CĐ môn Toán - Nguyễn Văn Xá

Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2012− Môn TOÁN 
24 
6. PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PT - BẤT PT 
Bài 1. Giải phương trình 
2 x 31) x x 12 3x 12. 2) 4x 1 3x 2 . 3) 3(2 x 2) 2x x 6.
5
+
− − = − + − − = + − = + + 
Bài 2. Giải bất phương trình 
2
6 6
1 x x
log x log x
x
2 2 11) 6 x 12. 2) 0.
2 1
−
− +
+ ≤ ≤
−
Bài 3. Giải hệ phương trình 
23 3 3
2 2 2
x 1 7 y 4xy 10 20 x1 x y 19x
1) . 2) . 3) .
y 1 7 x 4y xy 6x 0 xy 5 y
  + + − =− = −+ =  
  
+ + − =+ + =  = +  
Bài 4. Tìm m ñể tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình sau lớn hơn 1 
2 2 2 2
4 1
2
2log (2x x 2m 4m ) log (x mx 2m ) 0.− + − + + − = 
Bài 5. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau 
2 2 2 4 21) x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4. 2) x 2x 1 1 x.− + + − + ≥ − + − + ≥ − 
2 23 33
x3) 2x 1 x. 16 2x 1. 4)x x 12 x 1 36. 5) log (5x 8x 3) 2.− = − + + + + = − + > 
2 2 x y 1 2y 12 2
2 22 4
ln(1 x) ln(1+y) = x yx 4xy y 1 4 3.4 2x 2xy 3y 06) . 7) . 8) . 9) .
x 3y 2 log 3x | x | y | y | 2 x 12xy 20y 0y 4 3xy
+ − − + − − 
− + = + ≤   + − =
   
+ ≥ −+ = − − + = = +  
Bài 6. Tìm m ñể phương trình 2x 3 m 1 x+ = + có nghiệm. 
Bài 7. Tìm m ñể bất phương trình x x 2m.4 (m 1).2 m 1 0++ − + − > nghiệm ñúng với mọi x. 
7. LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Cho 
2 2
1 cosB 2a c
,
sin B 4a c
+ +
=
−
 chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. 
Bài 2. Giải phương trình lượng giác 
2 2 2 2 24x1) cos cos x. 2) tan 2x.tan 3x.tan 5x tan 2x tan 3x tan 5x.
3
= = − + 
Bài 3. Giải phương trình lượng giác 
4 42
2 2
x x
sin cos
cos x(2sin x 3 2) 2cos x 1 1 sin x2 21) 1. 2) tan x.sin x tan x.
1 sin 2x 1 sin x 2
++ − − +
= − = +
+ −
Bài 4. Giải phương trình lượng giác 
2
2 2
4 4
1)5sin x 2 3(1 sin x) tan x. 2)(2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sinx.
3)cos 3x.cos 2x cos x 0. 4)1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0.
5)1 cos x cos 2x cos3x. 6)cos x sin x cos(x )sin(3x
4 4
− = − − + = −
− = + + + + =
pi pi
+ = + + + − −
3 3 2
2 2 2
3) .
2
x7)sin x(1 tan x tan ) 4 cotx. 8)sin x 3 cos x sin x(cos x 3 sin x cos x).
2
9)2sin 2x sin 7x 1 sinx. 10)(1 sin 2x)cos2x (1 cos 2x)sin 2x 1 2sin 2x cos 2x.
=
+ = − − = −
+ = + + + + = +
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2012− Môn TOÁN 
25 
2
6 6
11)(sin x cos x) 3 cos 2x 2. 12)2sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2cos 2x.
12(cos x sin x) sin 2x 1 1 15213) 0. 14) 4sin( x).3sin x 42 2sin x sin(x )
2
+ + = + + = +
+ − pi
= + = −
pi
−
−
8. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP 
Bài 01. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là 
trung ñiểm của SB, SC. Biết rằng (SBC) (AMND).⊥ 
1. Tính diện tích tứ giác AMND. 
2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
3. Tính thể tích khối ña diện NMABCD. 
Bài 02. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P lần lượt là trung ñiểm của AB, DD’, B’C’. 
Chứng minh MN//(BDC’) và tính góc giữa hai ñường thẳng MN, A’P. 
Bài 03. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, 
AA’ = c (c2 > a2 + b2). Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’. Xác ñịnh thiết diện của lăng trụ 
cắt bởi (P) và tính diện tích của thiết diện ñó. 
Bài 04. Cho ABC∆ vuông cân có cạnh huyền BC = a. Trên ñường thẳng vuông góc với (ABC) tại A 
ta lấy ñiểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (SBC) là 600. Tính SA. 
Bài 05. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của 
SB, SC, và (SBC) (AMN).⊥ Tính diện tích AMN.∆ 
Bài 06. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, có I, J lần lượt là trung ñiểm của CD, A’D’. 
1. Chứng minh B'I C 'J.⊥ 
2. Trên các cạnh AB, B’C’, CC’, D’A’ lần lượt lấy các ñiểm M, N, P, Q sao cho MB xAB,=
B'N xB'C', CP yCC', D 'Q yD'A '.= = =
 Tìm mối liên hệ giữa x và y ñể MN PQ.⊥ 
Bài 07. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC AB AC a, BC a 2.= = = = = = Tính góc giữa 
hai ñường thẳng AB, SC, và tính thể tích khối chóp S.ABC. 
9. TỔ HỢP - XÁC SUẤT - THỐNG KÊ 
Bài 01. Tìm số hạng cứa x5y3z6t6 trong khai triển (x + y + z + t)20. 
Bài 02. Tính tổng 2 1 2 2 2 2 2 nn n n n1 C 2 C 3 C ... n C (n *).+ + + + ∈ 
Bài 03. Một hộp có 10 viên bi, gồm 5 bi xanh, 3 bi ñỏ, 2 bi vàng. 
1. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp ñã cho. Tính xác suất ñể 5 bi lấy ra có ñủ cả ba loại xanh, ñỏ, vàng. 
2. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp ñã cho. Tính xác suất ñể 6 bi lấy ra có ñủ cả ba loại xanh, ñỏ, vàng. 
Bài 04. Cho khai triển 
n
x x x xx 1 x 1 x 1 x 1
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n3 3 3 32 2 2 2
n n n n2 2 C (2 ) C (2 ) (2 ) C (2 ) (2 ) ... C (2 ) ,
− − − −
− − − −
− −
 
 + = + + + +
 
 
biết 3 1n nC 5C= và số hạng thứ tư trong khai triển trên bằng 20n. Tìm x và n. 
Bài 05. Tìm n biết 0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C 243.+ + + + = 
N
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2012− Môn TOÁN 
26 
Bài 08. Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x +  + anxn biết rằng 
1 2 n
0 n
a a a
a ... 4096.
2 4 2
+ + + + = 
Bài 09. Cần lập một ñề thi gồm 7 câu ñược lấy ngẫu nhiên từ một ngân hàng gồm 60 câu (trong ñó có 
20 câu dễ, 20 câu trung bình, 20 câu khó). Tính xác suất ñể ñề thi ñược lập thoả mãn cả ba yêu cầu: số 
câu không ít hơn 2, số câu trung bình không ít hơn 1, số câu khó không ít hơn 1. 
10. SỐ PHỨC 
Bài 01. Giải phương trình trên tập số phức 5 4 3 2z z z z z 1 0.− + − + − = 
Bài 02. Tìm số phức z thỏa mãn 
1) |z| = 2 5 , phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó. 
2) (2 i) 10z − + = và . 25z z = . 
3) z2 = 3 – 4i. 
Bài 03. Tìm các số thực x, y biết 2x y +2i 3 1 (x 2)i.y− = + − − 
Bài 04. Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn 
1) |z + 2i| ≤ 1. 2) |z| = |2z – 4i|. 3) |z + i| = |z –2|. 
11. BẤT ðẲNG THỨC - GTLN, NN 
Bài 01. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f (x) 2cos2x 4sinx= + trên ñoạn 0; .
2
pi 
  
Bài 02. Cho 2x x y 12+ = + và y 0,≤ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A xy x 2y 17.= + + + 
Bài 03. 
1. Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng 2 2 2
2 2 2 1 1 1
.
ab bc caa bc b ca c ab
+ + ≤ + +
+ + +
2. Cho a, b, c dương, và a + b + c = 2abc. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2
1 1 1P .
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Bài 04. Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2   
 
 
+ +1 2 1
x2x
≥
 16. 
Bài 05. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: + + + + + ++ + ≥a b c a b c a b c 9.
a cb
Bài 06. Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: + + ≥
+ + +2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
.
2b c c a a b
Bài 07. Cho ∆ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng 
 
+ + ≥ + + 
− − −  
1 1 1 1 1 1
2 .
p a p b p c a b c
ễd
Bài 10. Lấy tuỳ ý một số nguyên dương có 6 chữ số. Tính xác suất ñể số lấy ra là số có mặt 3 
ữ
 số 1, 2 chữ số 2, và 1 chữ số 3. 
 ch
Bài 06. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập ñược bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số phân biệt 
và chữ số 2 ñứng cạnh chữ số 3? 
Bài 07. Tính tổng 
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
0 1 2 n
n n n n
A C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... (2n 1).2 C .
1 1 1B 1.C .C .C ... .C .
2 3 n 1
+
+ + + + += − + − + + +
= + + + +
+
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2012− Môn TOÁN 
27 
12. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
Bài 01. Cho hàm số 
2x khi x 0
f (x) .x
sin khi x 0
2
− ≥

= 
<
1. Chứng minh f(x) liên tục tại x0 = 0. 
2. Chứng minh tại x0 = 0 hàm số không có ñạo hàm, nhưng f(x) ñạt cực ñại tại ñiểm ñó. 
Bài 02. Tìm giới hạn 
3 2 2 3x3
x 0 x 0 x 0
x
4
1 x x 1 3x 1 2x 1 e 11) lim . 2) lim . 3) lim . 4) lim tan 2x tan( x).
ln(2x 1) 1 cos x tan 4x 4pi→ → → →
+ + − − + + − pi
−
+ −
Bài 03. Tìm a. b ñể hàm số 
2ax b khi x 1f (x)
1 lnx khi x 1
 + <
= 
+ ≥
 có ñạo hàm tại x = 1. Khi ñó hãy viết phương 
trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x = 1. 
13. BÀI TOÁN TỔNG HỢP 
Bài 01. Chứng minh rằng phương trình 3x5 − 15x − 13 = 0 có nghiệm duy nhất x0. Và chứng minh 
rằng 9 0
260
x 2.
3
< < 
Bài 02. Cho hai hàm số 
x x x xa a a af (x) ; g(x) .
2 2
− −+ −
= = Với a > 0 và a ≠ 1. 
1. Chứng minh rằng f(x) là hàm chẵn, g(x) là hàm lẻ (trên ). 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên . 
Bài 03. Cho hàm số x3
af (x) bxe .
(x 1)
= +
+
 Tìm a, b ñể 
1
0
f '(0) 22; f (x)dx 5.= − =∫ 
Bài 04. Tìm ba số thực x, y, z sao cho ba số x, 1 z, y 1− − theo thứ tự lập thành cấp số cộng, và ba số 
2 21, x 1, y z 4z 2− − + + − theo thứ tự lập thành cấp số nhân. 
Bài 05. Chứng minh rằng phương trình x 1 xx (x 1)+ = + có một nghiệm dương duy nhất. 
Bài 06. Tìm m ñể phương trình 2 2 4 2 2m( 1 x 1 x 2) 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − có nghiệm. 
Bài 07. 
1. So sánh hai số 20102009 và 20092010 . 
2. So sánh hai số 2009 2009 và 2010 2010. 
R
R
Bài 08. Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: + + ≤ + +
+ + +3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
.
x y y z z x x y z
Bài 09. Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: − + − ≤a b 1 b a 1 ab. 
Bài 10. Cho a > 0, b > 0, a + b = c. 
1. Chứng minh rằng nếu m > 1 thì am + bm < cm. 
2. Chứng minh rằng nếu 0 cm.