Tài liệu Ôn thi ĐH, CĐ - Chủ đề: Bất đẳng thức

Chủ đề : Bất đẳng thức
A) Định Nghĩa: Bất đẳng thức là biểu thức có dạng: A>B; A<B; 
B) Các tính chất: Quan hệ “>”; ”<” .
 1. Có tính chất bắc cầu. Nghĩa là:
 a) a>b và b>c thì a>c.
 b) a<b và b<c thì a<c.
 c) và thì .
 d) và thì .
 2. Có tính chất phản xạ. Nghĩa là:
 hoặc .
 3. Có tính chất phản xứng. Nghĩa là:
 a) và thì a=b.
 b) và thì a=b.
C) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
 1. 
 2. 
 3. a + c > b a > b – c.
 4. .
 5. a > b 
 6. 
 7. *) 
 . *) 
 8. *) 
 *) 
 9. *) a >1 với m > n ; m,n 
 *) 0 n ; m,n 
 9. a>b và ab>0 .
 10. *) 
 *) 
 11. *) 
 *) 
D) Các bất đẳng thức thường gặp:
 1. Dấu bằng khi a=b
 2. Bất đẳng thức Cauchy.
 Vớia1 ,a2,, an : hoặc 
 Hoặc Dấu bằng khi a1=a2==an.
3. Bất đẳng thức Bunhiacốpki.
 Vớia1 ,a2,, an,b1 ,b2,, bn .
 Dấu bằng khi: 
4. Bất đẳng thức Bernonlly.
 Với Dấu bằng khi và chỉ khi a = 0.
E) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức có dấu giá trị tuyệt đối:
 1. 
 2. *) 
 *) 
 *) với . Dấu bằng ở vế (1) khi a0, ở vế (2) khi a0 .
3. Dấu bằng khi ab 0.
4. Dấu bằng khi ab 0.
5. Dấu bằng khi ab 0.
6. Dấu bằng khi ab 0.
7. *) với a > 0 . *) với a > 0 .
8. *) với a > 0 . *) với a > 0 . 
F) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức trong hình học:
1. Với ba điểm A,B,C tuỳ ý thì: AB + BC AC. Dấu bằng khi: A,B,C thẳng hàng. 
2. Với mọi : Dấu bằng khi: cùng phương.
3. Với mọi : Dấu bằng khi: cùng phương.
 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
$1: Phương pháp dùng định nghĩa.
 Để chứng minh: A B
 Ta lập hiệu A – B và chỉ ra A – B 0 hoặc B – A 0.
 Từ đó kết luận: A B. Dấu bằng khi: A=B.
VD1 CMR: với ab > 0 .
VD2 CMR: với ab > 1.
VD3 CMR: với 0.
VD4 CMR: với .
VD5 Cho x,y CMR: (ax+by)(bx+ay) (a+b)2xy.
VD6 Cho a,b CMR: a3+b3 a4+b4.
VD7 Cho a,b>0.CMR: .
$2: Phương pháp chứng minh trực tiếp.
 Để chứng minh: A B
 Ta biến đổi: A =A1=A2==B + C2 
 Do C2 0 Nên: A B. Dấu bằng khi: C=0.
VD1 CMR: với .
VD2 CMR: với .
VD3 CMR: với a,b,c,d > 0.
$3: Phương pháp chứng minh bằng so sánh.
 Để chứng minh A B
 Ta biến đổi : A=A1=A2==An.
 B=B1=B2==Bn 
 Nếu An Bn thì A B.
VD1 CMR: 200300 > 300200
$4: Phương pháp chứng minh bằng tính chất bắc cầu.
 Để chứng minh A B. 
 Ta đi chứng minh A C và C B A B.
 Dấu bằng khi A=C=B.
VD1 CMR: a2 a + 1 > 0 với .
VD2 CMR: a2 ab + b2 0 với .
VD3 CMR: a2 > 2(a-1) với .
VD4 Cho a,b,c . CMR: 
$5: Phương pháp chứng minh bằng dùng giả thiết.
VD1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). 
VD2 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: 
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)abc. 
 b) a3+b3+c3+3abc a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)> a3+b3+c3+2abc.
VD3 Cho a,b,c và a+b+c=0 CMR: a2 + b2 + c2 6.
VD4 Cho các số nguyên dương: a,b,p,q,r,s Thoả mãn các điều kiện qr – ps =1 
 Và .CMR: b q + s. 
VD5 Cho a,b,c và a2 +b2 +c2 = 1. CMR: 0 abc + 2(1 +a +b +c +ab +bc +ca).
VD6 Cho a1 ,a2,, an và CMR: a1 + a2 ++an .
VD7 Cho a,b,c và a+b+c=3 CMR: a2 + b2 + c2 5.
$6: Phương pháp chứng minh bằng phân tích số hạng.
VD1 CMR: với .
VD2 CMR: với .
VD3 CMR: với .
$7: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp.
 B1 Thử trực tiếp với n nhỏ nhất ( có trong bài toán ) bài toán đúng. 
 B2 Giả xử bài toán đúng với n=k ( với k lớn hơn n đã thử ). PCM: Bài toán đúng với n=k+1.
a) Đẳng thức.
VD1 CMR: 1+2+3++ n = . Với n 
VD2 CMR: 12 +22 +32 ++ n2 = . Với n 
b) Bất đẳng thức.
VD1 Với mọi ai,mi >0,n
VD2 Với mọi ai,mi >0,k
VD3 Với mọi ai,mi >0,k.
$8: Phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
 Để chứng minh A B 
 Ta giả sử A < B từ đây biến đổi dẫn đến trái với giả thiết của bài toán 
 hoặc trái với một điều đã biết trước đó.
 Kết lận A B đúng.
VD1 CMR: với ab > 0 
VD2 Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR: a + b + c 3.
VD3 Cho a,b thoả a+b=2 Chứng tỏ ab<1 và a4+b4 2.
$9: Phương pháp chứng minh bằng hàm số 
 A) Sử dụng miền giá trị.
 Để chứng minh B < f(x) < A
 Đặt y=f(x) xác định trên D
 Khi đó với mọi x thuộc D thì phương trình f(x) – y = 0 có nghiệm. 
 Từ đó suy ra điều kiện: hay B < f(x) < A.
VD1 CMR: với a > 0, a .
VD2 CMR: với a .
 B) Sử dụng Định lý Lagrange. 
 Nếu y=f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên thì: 
Bài toán I: Chứng minh bài toán: vế(I)<vế(II)<vế(III) mà vế(II) có thể viết thành: 
 PP: Chỉ ra y=f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên thì: 
 hay a<c<b thì vế(I)<vế(II)<vế(III) 
 C) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 
 hàm số y=f(x) XĐ trên (a;b) nếu:
 *) thì hàm số không giảm trên (a;b) (số điểm có f,(x)=0 là môt số hữu hạn )
 *) thì hàm số không tăng trên (a;b) (số điểm có f,(x)=0 là môt số hữu hạn )
 *) thì hàm số không đổi trên (a;b) 
Bài toán II: Chứng minh bài toán: f(x)>0 
 PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra 
 Tính f(a) chỉ ra f(a) 
 Tính f,(x) và chỉ ra f,(x)>0 suy ra f(x)>f(a)
 D) Sử dụng Ymin;YMax của hàm số. 
Bài toán III: Chứng minh bài toán: f(x)0 
 PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra 
 Tìm Ymin với x D1 Chứng tỏ từ đó suy ra 
 E) Sử dụng tính chất của hàm số lồi,lõm(BĐT JENSEN). 
 *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f,,(x)>0 thì ta có:
 Dấu = khi x1=x2=...=xn
 *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f,,(x)<0 thì ta có:
 Dấu = khi x1=x2=...=xn
Bài toán IV: Để CM: với 
 Hoặc Để CM: với 
 PP: Chỉ ra hàm số y=f(x) trên (a;b) thỏa mãn:
 f,,(x)>0 hay f,,(x)<0 và 
Bài tập 1: CMR 
Bài tập 2: CMR 
Bài tập 3: CM các BĐT sau:
 a) với A,B,C la số đo các góc trong của 1 tam giác
 b) với 0<a<b
 c) 
Bài tập 4: CMR với n,e =
Bài tập 5: CMR a) HD xét y=xn+(c-x)n với c>0
 b) khi và chỉ khi với 
 c) Nếu với thì 
 d) với n,e =
 e) 
Bài 6: CMR nếu n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn 3 thì (n+1)xn+2-3(n+2)xn+1+an+2=0 VN 
Bài 7: m>0;a,b,c bất kỳ thỏa thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)
$10: Phương pháp chứng minh bằng biến đổi tương đương.
VD1 Cho a,b,c . CMR: a2 + b2 + c2 ab+bc+ca.
VD2 Cho a,b,c,d . CMR: a2 + b2 + c2+d2+1 a+b+c+d.
VD3 Cho a,b,c . CMR: + b2 + c2 ab-ac+2bc.
VD4 Cho a,b,c . CMR: a2 + b2 + c2+1 2a( ab2-a+c+1).
VD5 Cho a,b,c . CMR: a2 + b2 + c2 . Với a+b+c=1.
VD6 Cho a,b,c . CMR: + b2 + c2 ab+bc+ca. Nếu abc=1 và a3>36.
VD7 Cho a,b. CMR: 2. Nếu ab=1 và a>b.
VD8 Cho a,b . CMR: a2 + b2 + 1 ab+a+b.
VD9 Cho a,b,c . CMR: a2 + b2 + c2 1+a2b+b2c+c2a.
VD10 Cho a,b,c và a+b+c=3. CMR: a2 + b2 + c2 5.
$11: Phương pháp chứng minh bằng hình học-vộc tơ.
bài 1: HD: (x+y;z); .Với: x,y,zR.
Bài 2: HD: (x-m; y); .Với: x,y,mR.
Bài 3: 
 Với: x,y,a1,a2,b1,b2 R. HD: A(x;y), B(a1;b1), C(a2;b2).
Bài 4: Với: a,b,c,d R HD: .
Bài 5: Với: a,b,c,d R 
 HD: . Hoặc A(a;b), B(c;d) và có: OA+OBAB.
Bài 6: Với: a,b,c,d. HD: và có: .
Bài 7: Tìm giá trị N2 của y= Với: p,qR và p0.
 HD: A(p;p); B(q;q); M(x;0) và có: MA+MBAB. Từ đó Miny=(q-p) khi: MO.
 Tổng quát: Với: p,qR.Đặt A(x-p;, B(x-q;. Thì: OA+OBAB=.
Bài 8: Tìm giá trị LN & NN của: y= Với : x HD: 
 ta có: .Max y=3 khi:.
 khi đó còn Min y= khi đó cùng phương Ox hay 1- .
Bài 9: HD: Và có: .
Bài 10: Tìm giá trị N2 của y= 
 HD: A(1;1-cos); B(3;4), C(1;0).
Bài 11: Chứng minh rằng: .
 và có: 
Bài 12: Chứng minh rằng: 
 HD: M(2cosxcossy;sin(x-y)), N(-2sinxsiny;-sin(x-y)) và có: OM+ON MN .
Bài 13: Chứng minh rằng: 
 HD: M(x;0), , và có: bằng khi OM//AB loại.
Bài 14: Chứng minh rằng: 
 HD: khi đó: VT= 
Bài 15: Chứng minh rằng: Với: a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc 
 HD: và:=
Bài 16: Cho: x,y,u,vR và: x2+y2=u2+v2=1 chứng minh: 
 HD: thì: VT= =VP
Bài 17: Cho: a,b,cR và: Chứng minh rằng: 
 HD: và có: 
 Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho a,b,c . CMR: .
Bài 2: Cho a,b,c . CMR: 
Bài 3: Cho a,b. CMR: 
Bài 4: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + .
Bài 5: Cho a,b. CMR: .
Bài 6: Cho . CMR: .
Bài 7: Cho a,b. CMR: .
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x +3)(5-x). Với .
Bài 9: Với x>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + .
Bài 10: Cho a,b,c và a2 +2b2 +9c2 =3. CMR: 
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số: f(x) = .
Bài 12: a) Cho a,b,c . CMR: 
 b) Cho a,b,c,d và b<c<d c hoặc d<c<b. CMR: 
Bài 13: Cho a,b,c . CMR: 
Bài 14: Cho a,b và a2 +b2 =1. CMR: 
Bài 15: a) Cho a,b và 4a - 3b = 15. CMR: 
 b) Cho a,b và 3a + 5b = 7. CMR: 
 c) Cho a,b và 4a + b = 1. CMR: . 
Bài 16: Cho a,b và . CMR: 
Bài 17: a) Cho a,b. CMR: .
 b) Cho a,b và ab 1. CMR: .
 c) Cho a,b,c,d>0, và .CMR:.
Bài 18: CMR: với .
Bài 19: Cho a,b,c . CMR: 
Bài 20: Cho a,b,c . CMR: 
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = .
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = .
Bài 23: Cho a. CMR: .
Bài 24: a) Cho a,b,c. CMR: 
 b) Cho a,b,c. CMR: 
 c) Cho a,b,c. CMR: 
 d) Cho a,b,c,d. CMR: 
 e) Tổng quát cho bài toán trên.
Bài 25: Với x> -2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + .
Bài 26: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x2 + .
Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (2-x)(2x+1). Với: -0,5< x < 2.
Bài 28: Cho a,b. CMR: a) .
 b) (1+a+b)(a+b+ab) 9ab.
 c) 3a3 +7b3 9ab2.
Bài 29: Cho a,b và a+b =2. CMR: 
Bài 30: a) Cho a,b. CMR: .
Cho a,b,c. CMR: 
c) Tổng quát bài toán trên. 
Bài 31: a) Cho a,b. CMR: .
b) Cho a,b,c. CMR: 
Tổng quát bài toán trên. 
Bài 32: Cho a,b,c và a+b+c = 1. CMR: .
Bài 33: a) Cho a,b,c và a+b+c=3. CMR: 
 b) Cho a,b,c và a+b+c=1. CMR: 
Bài 34: Cho a,b và a+b . CMR: .
Bài 35: a) Cho a,b,c. CMR: . 
 b) Cho a,b;x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR: .
Bài 36: Cho a,b,c,d. CMR: 
 a) .
 b) (a2+1)(b2+2)(c2+4)(d2+8) (ac+2)2(bd+4)2.
Bài 37: a) Cho a,b. CMR: .
b) Cho a,b,c. CMR: 
 c) Tổng quát bài toán trên. 
Bài 38: Cho a,b,c . CMR: 
Bài 39: a) Cho a,b,c . CMR: . 
 b) Cho a,b,c,d . CMR: .
 c) Cho a,b,c . CMR: . 
 d) Cho a,b,c,m và m>1. CMR: . 
 e) Cho a,b,c,m,n . CMR: .
Bài 40: Cho a,b,c . CMR: .
Bài 41: a) Cho a,b,c . CMR: .
 b) Cho a,b,c . CMR: .
 c) Cho: a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: . 
Bài 42: a) Cho a,b,c . CMR: .
 b) Cho a,b,c . CMR: .
 c) Cho a,b,c . CMR: .
Bài 43: Cho a,b,c,d . CMR: 
Bài 44: Cho a,b. CMR: 
Bài 45: Cho a,b,c . CMR: 
Bài 46: a) Cho a,b,c . CMR: 
 b) Cho a,b,c . CMR: 
Bài 47: a,b,c là độ dài của ba đoạn thẳng thoả mãn: a2b2+b2c2+c2a2 > (a4+b4+c4).
 CMR: Ba đoạn thẳng đó có thể dựng được một tam giác.
Bài 48: CMR: . Với: n và n > 2.
Bài 49: CMR: . Với: n và n 2.
Bài 50: CMR: . Với: n và n 2.
Bài 51: Cho a1,a2 >0; a1c1 và a2c2. CMR: (a1+a2)(c1+c2)(b1+b2)2.
Bài 52: Cho: a1,a2,,an và a1+a2++an.CMR: (1-a1)(1-a2)(1-an). Với: n .
Bài 53: Cho: a1,a2,,an. CMR: (1+a1)(1+a2)(1+an). Với: n .
Bài 54: a) Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR: .
 b) Cho: a1,a2,,an và a1+a2++an=1. CMR: . Với: n.
Bài 55: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi .
CMR: 
b) CMR: 8(p-a)(p-b)(p-c) abc.
c) CMR: .
Bài 56: Cho a,b và a3+b3=a-b . CMR: a2+b2 <1 .
Bài 57: Cho a,b,c . CMR: .
Bài 58: Cho ai,bi,i=; ai và CMR: .
Bài 59: Cho ai, i=; aivà a1+a2++an=1.CMR: 
Bài 60: CMR: 1.3.5(2n-1) nn Với: n 
Bài 61: Cho x,y,z và x+y+z=a. CMR: 
Bài 62: a) Cho a>b>0.CMR: .
 b) Cho a>b0.CMR: .
 c) Cho a>b>0.CMR: .
 d) Cho a,b.CMR: .
 e) Cho a1>>an>0 và .CMR: .
Bài 63: CMR: với .
Bài 64: CMR: với .
Bài 65: CMR: với .
Bài 66: CMR: với ,n >1.
Bài 67: CMR: với .
Bài 68: CMR: với .
Bài 69: CMR: với .
Bài 70: a,b,c là độ dài của ba đoạn thẳng thoả mãn: .
 CMR: Ba đoạn thẳng đó có thể dựng được một tam giác.
Bài 71: CMR: với ,n >1.
Bài 72: Cho a,b,c,d CMR: .
Bài 73: CMR: với .
Bài 74: CMR: với .
Bài 75: a) Cho 0<a,b,c<1. CMR: a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) .
 b) Cho 01-a-b-c-d.
Bài 76: Cho CMR: .
Bài 77: . CMR: 
Bài 78: Cho a,b,c . CMR: 
Bài 79: Cho a,b,c,d,e . CMR: 
Bài 80: CMR: với .
Bài 81: a) CMR: với .
 b) CMR: 
Bài 82: a) CMR: với .
 b) CMR: 
Bài 83: a) CMR: 1.1!+2.2!+3.3!++100.100!<101!
 b) CMR: 1.1!+2.2!+3.3!++n.n!<(n+1)! với .
Bài 84: a) Cho a,b. CMR: .
 b) Cho a,b. CMR: .
 Bài 85: a,b,c,d trong đó có 3 số dương,một số âm thoả mãn: .
 CMR: Các số: là số đo ba cạnh của một tam giác.
Bài 86: Cho a,b,c 0. CMR: .
Bài 87: a) Cho a,b. CMR: .
 b) Cho a,b. CMR: .
 c) Cho a,b. CMR: .
 Bài 88: Cho a,b,c CMR: ít nhất một trong các số (a-b)2,(b-c)2,(c-a)2 không vượt quá: (a2+b2+c2). 
Bài 89: Cho ai, i=; ai và =3.CMR: .
Bài 90: CMR: với .
Bài 91: CMR: với .
Bài 92: a) CMR: . Với: n và n 2.
 b) CMR: . Với: n và n 2.
Bài 93: Cho các số: A= (1001 chữ số 2) B= (1000 chữ số 3) C= (999 chữ số 4).
 a) So sánh A và B
 b) So sánh B và C.
Bài 94: Cho x,y là hai số thực thoả x2+y2=1 CMR: f(x,y) =16(x5+y5)-20(x3+y3)+5(x+y).
Bài 95: Cho a,b,c,dvà a2+b2+c2+d2=1.CMR: 
Bài 96: Cho a,b và a+b = 1 . CMR: .
Bài 97: Cho a,b,c và a=c +d,b c+d. CMR: .
Bài 98: Cho a,b,c. CMR: 
Bài 99: CMR: với n.
Bài 100: a) Cho a,b. CMR: .
 b) Cho a,b. CMR: .
Bài 101: CMR: với .
Bài 102: Gọi x2, x2 là nghiệm của hệ: với: c, d >0. CMR: x1x2.
Bài 103: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Biết 
 CMR: 
Bài 104: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có diện tích bằng 1. CMR: 
Bài 105: CMR: với .
Bài 106: a,b,c Trong đó tổng 3 số khác không.CMR: .
Bài 107: Cho R,r là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. CMR: 
Bài 108: a) Cho a,b,c và .CMR: abc . 
 b) Cho a,b,c,d và . CMR: abcd .
 c) Cho a1,a2,...,an và với .CMR: a1an. 
Bài 109: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và có diện tích là S. CMR: 
Bài 110: Cho a,b,c là ba cạnh của ABC. CMR: 
Bài 111: Cho a,b,c . CMR: .
Bài 112: Nếu phương trình: x4+ax3+bx2+ax+1=0 có nghiệm thực thì:
 a) a2+(b-2)2 >3. b) .
 c) a2+b2 . d) a2+(b-2)2 . 
Bài 113: Nếu phương trình: x4+ax3+bx2+cx+1=0 có nghiệm thực thì: . 
Bài 114: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác.CMR: . 
 Bài 115: Nếu phương trình: (a+x)2+(b+y)2+(x+y)2=c2 có nghiệm thực thì: . 
Bài 116: a) Cho a,b,cvà a(a-1)+b(b-1)+c(c-1). CMR: a+b+c 4.
 b) Cho a,b,cvà a+b+c=6. CMR: a2+b2+c2 12.
Bài 117: a) Cho a,b,cvà a2 +b2 +c2 =1. CMR: a+3b+5c .
 b) Cho x,yvà 36x2 +16y2 =9. Tìm Max,Min của: p=y-2x+5.
 c) Cho x,yvà x2 +y2 =1. Tìm Max A= . 
 d) Cho x,y . Tìm Min f(x,y)=(x-2y+1)2+(2x+ay+5)2 tuỳ theo a .
Bài 118: Cho a,b,c,dvà a2 +b2 +c2 +d2 =1. CMR: (t2+at+b)2+(t2+ct+d)2 (2t2+1)2 .
Bài 119: Cho a,b,c,dvà CMR:.
Bài 120: Cho a,b,c là ba cạnh của ABC vông tại A. CMR: an>bn+cn với n
Bài 121: Cho a,b,c và a+b+c =1. CMR: a+b+2c4(1-a)(1-b)(1-c)
Bài 122: Cho a,b,cThoả ab+bc+ca=4. CMR: a4+b4+c4 . 
Bài 123: Cho a,b,c là ba cạnh của ABC. CMR: 
 a) 
 b) 
Bài 124: Cho a,b,c là ba cạnh của ABC và a2+b2 c2. CMR: 
Bài 125: Cho x,y và . CMR: (3-x)(4-y)(2x+3y) 
Bài 126: Cho CMR: . 
Bài 127: Cho CMR: .
Bài 128: Cho 6 sỗ,y,z,a,b,c không âm.CMR: .
Bài 129: Cho: a1,a2,,an>0 và a1a2an=1. CMR: a1+a2++an. Với: n .
Bài 130: Cho a,b,c>0 và a=b+c. CMR: . 
Bài 131: Cho CMR: .
Bài 132: a) Cho: a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: . 
 b) Cho: a1,a2,,an>0 và a1+a2++an=1. CMR: . Với: n.
Bài 133: a) Cho CMR: .
b) Cho: a1,a2,,an 0. CMR: . Với: n.
Bài 134: a) Cho: a,b,c không âm.CMR: .
 b) Cho: a1,a2,,an 0. CMR: . Với: n.
Bài 135: CMR: .
Bài 136: Cho a,b,c và a+b+c=1. CMR: a) 
 b) abc(a+b)(b+c)(c+a) . c) ab+bc+ca - abc . 
 d) ab+bc+ca – 2abc . e) 
Bài 137: a) Cho x,y>0. Tìm Min f(x,y)= .
 b) Cho x,y,z >0. Tìm Min f(x,y,z)= .
 c) Cho x1,x2,,xn >0. Tìm Min f(x1,x2, ,xn)= .
Bài 138: a) CMR: A=sin2xcosx.
 b) CMR: A=sinmxcosnx Với mọi .
Bài 139: CMR: với mọi m < n 
Bài 140: CMR: với n.
Bài 141: Cho tam giác ABC. CMR:
 a) R 2r. b) S [r(ra + rb + rc)+ra rb+rb rc+rc ra ]
 c) 4r.ra a2 . d) a2+b2+c2 .
 e) f) 
 g) ha+hb+hc 9r. i) ra+rb+rc 9r.
Bài 142: a) Cho a,b,c . CMR: .
 b) Tổng quát cho bài toán trên.
Bài 143: a) Cho a,b,c và a2+b2+c2=1. CMR: .
Bài 144: Cho a,b,c là 3 cạnh của ABC. CMR: 
 a) .
 b) .
 c) .
Bài 145: Với a,b,c,d > 0.CMR: . 
Bài 146: Cho a,b,c>0. Tìm Min S= .
 Bài 147: Cho a,b,c và a+b+c+d=1.Tìm Max S=
Bài 148: Cho a,b>0 và a+b=1.CMR: 
 a) b) 
Bài 149: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR: 
 a) b) .
Bài 150: a) Cho a,bCMR: (a+b)(a3+b3)(a5+b5) 4(a9+b9).
 b) Cho a,bCMR: .
Bài 151: Cho tam giác ABC. CMR: .
Bài 152: a) Cho (a+c)(a+b+c)4a(a+b+c). 
 b) Cho ai,Với: n .CMR: (1+a1++an)2 .
 c) Cho a,b,c,d,p,q và p2+q2-a2-b2-c2-d2>0.CMR: (p2-a2-b2)(q2-c2-d2) (pq-ac-bd)2.
 d) Cho ai,bi với i=; ai,bi và .
 CMR: 
 e) Cho a,b .CMR: (a+b)2-ab+1 .
 f) Cho a,b,c,d .CMR: (a2 -b2)(c2 –d2) .
 g) Cho tam giác ABC, m,n và m+n=1 . CMR: .
Bài 153: Cho a,b ;n .CMR: .
Bài 154: Cho tam giác ABC. CMR: .
Bài 155: a) Cho CMR: .
 b) Cho CMR: .
Bài 156: Cho tam giác ABC. CMR: .
Bài 157: Cho a,b,c và a+b+c . CMR: .
Bài 158: Cho a,b,c>0 và .CMR: 
Bài 159: Cho a>b>0 và .CMR: 
Bài 160: a) Cho .CMR: . 
 b) Cho .CMR: . 
 e) Cho a,b,c và abc=1. CMR: 
Bài 161: a) Cho a,b,c.CMR: . 
 b) Cho a,b,c,d.CMR: .
 c) Cho a,b,c0 và a+b+c=1.CMR: .
Bài 162: Cho a,b,c,d>0. CMR: .
Bài 163: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR: ab+bc+ca > .
Bài 164: Cho CMR: 
 a) 2(a3+b3+c3)ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc. b) 3(a3+b3+c3)(a+b+c)(ab+bc+ca). 
 c) 3(a3+b3+c3)(a+b+c)(a2+b2+c2)9abc. d) 8(a3+b3+c3)3(a+b)(b+c)(c+a). 
Bài 165: Cho a,b>0 và a+b=1.CMR: .
Bài 166: a) Cho a,b,c. CMR: a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) .
 b) Cho a,b,c. CMR: a6 + b6 + c6 a5b + b5c + c5a.
Bài 167: Cho a,b,c . CMR: .
Bài 168: a) Cho tam giác ABC. CMR: a4+b4+c4 16S2. 
 b) Cho tam giác ABC. CMR: a2b(a-b) +b2c(b-c) +c2a(c-a) 0. 
Bài 169: a) Cho a1,a2,a3 CMR: . 
 b) Cho a1,a2,,an CMR: . 
 ứng dụng của đạo hàm 
 vào BĐT,BPT,PHƯƠNG TRìNH 
 A) Sử dụng miền giá trị.
 Để chứng minh B < f(x) < A
 Đặt y=f(x) xác định trên D
 Khi đó với mọi x thuộc D thì phương trình f(x) – y = 0 có nghiệm. 
 Từ đó suy ra điều kiện: hay B < f(x) < A.
VD1 CMR: với a > 0, a .
VD2 CMR: với a .
 B) Sử dụng Định lý Lagrange. 
 Nếu y=f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên thì: 
Bài toán I: Chứng minh bài toán: vế(I)<vế(II)<vế(III) mà vế(II) có thể viết thành: 
 PP: Chỉ ra y=f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên thì: 
 hay a<c<b thì vế(I)<vế(II)<vế(III) 
 C) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 
 hàm số y=f(x) XĐ trên (a;b) nếu:
 *) thì hàm số không giảm trên (a;b) (số điểm có f,(x)=0 là môt số hữu hạn )
 *) thì hàm số không tăng trên (a;b) (số điểm có f,(x)=0 là môt số hữu hạn )
 *) thì hàm số không đổi trên (a;b) 
Bài toán II: Chứng minh bài toán: f(x)>0 
 PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra 
 Tính f(a) chỉ ra f(a) 
 Tính f,(x) và chỉ ra f,(x)>0 suy ra f(x)>f(a)
 D) Sử dụng Ymin;YMax của hàm số. 
Bài toán III: Chứng minh bài toán: f(x)0 
 PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra 
 Tìm Ymin với x D1 Chứng tỏ từ đó suy ra 
Bài toán Tổng Quát: Để CM f(x) g(x) 
 - Tìm fmin; gmax Chỉ ra fmin>gmax
 -Khi đó hay f(x)>g(x)
 E) Sử dụng tính chất của hàm số lồi,lõm(BĐT JENSEN). 
 *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f,,(x)>0 thì ta có:
 Dấu = khi x1=x2=...=xn
 *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f,,(x)<0 thì ta có:
 Dấu = khi x1=x2=...=xn
Bài toán IV: Để CM: với 
 Hoặc Để CM: với 
 PP: Chỉ ra hàm số y=f(x) trên (a;b) thỏa mãn:
 f,,(x)>0 hay f,,(x)<0 và 
Bài tập 1: CMR 
Bài tập 2: CMR 
Bài tập 3: CM các BĐT sau:
 a) với A,B,C la số đo các góc trong của 1 tam giác
 b) với 0<a<b
 c) 
 d) 
Bài tập 4: CMR với n,e =
Bài tập 5: CMR a) HD xét y=xn+(c-x)n với c>0
 b) khi và chỉ khi với 
 c) Nếu với thì 
 d) với n,e =
 e) 
Bài 6: CMR nếu n là số tự nhiên chẵn và a >3 thì (n+1)xn+2-3(n+2)xn+1+an+2=0 VN 
Bài 7: a) a,b,c bất kỳ thỏa 4a+3b+3c=0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2)
 b) a,b,c bất kỳ thỏa 2a+3b+6c=0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)
 c)m>0;a,b,c bất kỳ: thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)
 d) CMR: với mọi a,b,c,d acos4x+bcos3x+ccos2x+dcosx=0 luôn có nghiệm thuộc
Bài 8: Tìm m để 
 a) x3-x2+18ax-2a=0; x3-3x2+m=0 có 3 nghiệm phân biệt
 b) x4-4x3+8x-m=0 có 4 nghiệm phân biệt
 c) có nghiệm
Bài 9: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 a) 
 b) 
Bài 10: Nếu a0xn+a1xn-1+...+an-1x=0 có nghiệm dương x1
 Thì na0xn-1+(n-1)a1xn-2+...+an-1=0 có nghiệm dương x2<x1
Bài 11: giải các phương trình sau:
 a) 
 b) 
HD: f(x)=g(x) (1) XĐ trên D nếu 
 c) 
 d) 
 HD: f(x)=a (1) XĐ trên D nếu 
Bài 12: CMR Với 
Bài 13: CMR: 
 a) cho 
 HD xét f,,(x)0=>f,(x) NB..
 b) CMR: 
 c) CMR Không có nghiệm âm
 HD xét f(x)==>f,,(x)<0 với 	nên f,(x) NB.. 
Bài 14: a) CMR: 
 HD tìm LN,NN của: 
 b) giải 
Bài 15: Với a,b,c>0 và a2+b2+c2=1 CMR: 
 HD xét f(x)=x(1-x2) trên (0;1)=> f(x)=>...
 Bài 16: CMR:
 a) 
 HD Xét f(x)=x(1+x)n= lấy đạo hàm hai vế và cho x=1
 b)
 HD Xét f(x)=(1+x)n =...lấy đạo hàm bậc 2 hai vế và cho x=1 
 c) 
 HD Xét f(x)=(1+x)n tìm f,(x)=.. f,(1)= 
 f(x)= tìm f,(x)=.. f,(1)= 
 => (1)
 Xét g(x)=x(1+x)n tìm g,(x)=.. g,(1)=..
 g(x) = tìm g,(x)=.. g,(1)=..
 => 2.1 (2)
 và do (k+1)k-k=k2 từ (1) và (2) => ĐPCM
 d) 
 HD xét f(x)=n(x+1)n-1=>f(x)=((x+1)n),=(), và thay x=1..
 e) 
 HD xét f(x)=x(1+)n =>f,(x)=
 mặt khác f(x)==>f,(x)= với x=n-1
 f) 
 g) 
 h) 
 i) 
 k) 
 l) 
 m) 1.1!+2.2!+3.3!++n.n!<(n+1)! 
 HD: k.k!=(k+1)!-k!