Ôn thi Toán 12: Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx

Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 
219 
Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX 
1. Phương pháp chung: 2 2sin cos ; 0a x b x c a b+ = + > (1) 
Cách 1. ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 sin cos cosc a bx x x
a b a b a b
⇔ = + = − α
+ + +
Với 
2 2 2 2 2 2
sin ; cos ; cos 2a b c x k
a b a b a b
= α = α = β⇒ = α ± β + pi
+ + +
Chú ý: (1) có nghiệm 2 2 2c a b⇔ ≤ + 
Cách 2. Xét cos 02
x
= là nghiệm của (1) 0b c⇔ + = 
Xét 0b c+ ≠ . Đặt tan
2
xt = thì 
2
2 2
2 1sin ; cos
1 1
t tx x
t t
−
= =
+ +
. Khi đó 
( )1 ⇔ ( ) ( ) ( )2 2 0f t c b t at c b= + − + − = 
Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 
2. Các bài tập mẫu minh họa 
Bài 1. Giải phương trình: 33sin 3 3 cos 9 1 sin 3x x x− = + 
Giải 
( )3 33sin 3 3 cos 9 1 4sin 3 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1x x x x x x− = + ⇔ − − = 
31 1sin 9 3 cos 9 1 sin 9 cos 92 2 2x x x x⇔ − = ⇔ − = ( ) 1sin 9 3 2x pi⇔ − =
( )
29 23 6 18 9
5 7 29 23 6 54 9
kx k x
k
kx k x
pi pi pi pi 
− = + pi = +
 
⇔ ⇔ ∈ pi pi pi pi
− = + pi = + 
 

 
Bài 2. Giải phương trình: cos 7 .cos 5 3 sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x− = − (1) 
Giải 
( ) ( )1 cos 7 .cos 5 sin 7 .sin 5 3 sin 2 1x x x x x⇔ + − = 
( )cos 7 5 3 sin 2 cos 2 3.sin 2 1x x x x x⇔ − − ⇔ − = 
31 1 1cos 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 22 2 2 3 3 2x x x x
pi pi⇔ − = ⇔ − = 
( ) ( )1cos 2 2 23 2 3 3 3x x k x k x k kpi pi pi −pi⇔ + = ⇔ + = ± + pi ⇔ = pi ∨ = + pi ∈
 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
220 
Bài 3. Giải phương trình: ( )2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x+ = + (1) 
Giải 
( ) ( )1 2 sin 2 2 1 cos 2 3 cos 2x x x⇔ + + = + ( )2 sin 2 2 1 cos 2 3 2x x⇔ + − = −
.Ta có 
( ) ( )
( )
2 22 2
22
2 2 1 5 2 2
3 2 11 6 2
a b
c
 + = + − = −

 = − = −
. Ta sẽ chứng minh: 2 2 2a b c+ < 
5 2 2 11 6 2⇔ − < − ( ) 2 24 2 6 32 36⇔ < ⇔ < (đúng). Vậy (1) vô nghiệm. 
Bài 4. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )3sin 4sin 5sin 5 03 6 6x x xpi pi pi− + + + + = 
Giải 
( ) ( ) ( )3sin 4cos 5sin 53 2 6 6x x xpi pi pi pi ⇔ − + − + = − +   
( ) ( ) ( )3sin 4cos 5sin 53 3 6x x xpi pi pi ⇔ − + − = + + pi   . Đặt 34sin , cos5 5α = α = 
( ) ( )7cos sin sin .cos sin 53 3 6x x xpi pi pi ⇔ α − + α − = +   
( ) ( )7sin sin 53 6x xpi pi ⇔ − + α = +   924 4 2 36 6 3k kx xpi α pi pi α pi⇔ = + + ∨ = − + 
Bài 5. Giải phương trình: 3 34sin cos 3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + = (1) 
Giải 
( ) [ ] [ ]1 3sin sin 3 cos 3 3cos cos 3 sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x x x⇔ − + + + = 
[ ]3 sin cos3 sin 3 cos 3 3 cos 4 3 sin 4 3 cos 4 1x x x x x x x⇔ + + = ⇔ + = 
( )31 1 1sin 4 cos 4 cos sin 4 sin cos 4 sin 42 2 2 3 3 3 2x x x x xpi pi pi⇔ + = ⇔ + = + = 
( )
24 2 8 2
k kx x k−pi pi pi pi⇔ = + ∨ = + ∈
 
Bài 6. Giải phương trình: 3sin cos 1x x+ = 
Giải 
Ta có 3sin cos 1 3sin 1 cosx x x x+ = ⇔ = − 
( )26sin cos 2sin 2sin 3cos sin 02 2 2 2 2 2x x x x x x⇔ = ⇔ − = . Xét 2 khả năng 
a. sin 0 2
2 2
x x k x k= ⇔ = pi ⇔ = pi 
b. ( )3cos sin 0 tg 3 2 2
2 2 2 2
x x x x k x k k− = ⇔ = ⇔ = α + pi ⇔ = α + pi ∈
 
www.VNMATH.com
Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 
221 
Bài 7. Giải phương trình: sin 5cos 1x x+ = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )21 5cos 1 sin 5 cos sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2x x x x x xx x⇔ = − ⇔ − + = − 
( ) ( ) 2cos sin 4 cos 6sin 0 tan 1 tan tan2 2 2 2 2 2 3x x x x x x⇔ − + = ⇔ = ∨ = − = α 
( )2 2 2
2 4 2 2
x xk k x k x k kpi pi⇔ = + pi ∨ = α + pi ⇔ = + pi ∨ = α + pi ∈
 
Bài 8. Giải phương trình: ( )sin 3 cos sin 3 cos 2 1x x x x+ + + = 
Giải 
Ta có: ( )31sin 3 cos 2 sin cos 2sin2 2 3x x x x x  pi+ = + = +   
Đặt ( )sin 3 cos 2sin 0 23t x x x tpi= + = + ⇒ ≤ ≤ , khi đó 
( ) ( ) [ ]2 21 2 2 2 5 4 0 1 0;2t t t t t t t t t⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − + = ⇔ = ∈ 
( ) ( ) 12sin 1 sin3 3 2x xpi pi⇔ + = ⇔ + = ( )2 26 2x k x k k−pi pi⇔ = + pi ∨ = + pi ∈
 
Bài 9. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )1 3 sin 1 3 cos 2 1x x+ + − = 
Giải 
Do ( )1 3 2 2 3 0b c+ = + + = − ≠ nên cos 0
2
x
= không là nghiệm của (1) 
Đặt 2
2ttan sin
2 1+t
xt x= ⇒ và 
2
2
1cos
1
tx
t
−
=
+
, khi đó 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2
2 11 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 1 2 1
1 1
t t t t t
t t
−⇔ + + − = ⇔ + + − − = +
+ +
( ) ( ) ( )23 3 2 1 3 1 3 0t t⇔ − − + + + = ⇔ 
1 3 51 tan tan tan tan
2 6 2 123 1 3
x xt t + pi pi= ∨ = − ⇔ = ∨ =
−
52 23 6x k x k
pi pi⇔ = + pi ∨ = + pi 
Bài 10. Giải phương trình: ( ) ( )sin 3 3 2 cos3 1 1x x+ − = 
Giải 
Do ( )3 2 1 3 1 0b c+ = − + = − ≠ nên 3cos 0
2
x
= không là nghiệm của (1) 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
222 
Đặt 2
3 2tan sin 3
2 1
x tt x
t
= ⇒ =
+
 và 
2
2
1cos3
1
tx
t
−
=
+
, khi đó 
( ) ( ) ( )2 21 2 3 2 1 1t t t⇔ + − − = + ( ) ( )21 3 2 3 3 0t t⇔ − + + − = 
1 3 3tan 1 tan 3
2 23
t x x
t
=
⇔ ⇔ = ∨ =
=
( )2 2 2
6 3 9 3
k kx x kpi pi pi pi⇔ = + ∨ = + ∈
 
Bài 11. Tìm m để ( )2sin cos 1 1x m x m+ = − có nghiệm ,
2 2
x −pi pi ∈
  
Giải 
Do ( )1 0b c m m+ = + − ≠ nên cos 0
2
x
= không là nghiệm của (1) 
Đặt tan
2
xt = thì ( )
2
2 2
2 11 2 1
1 1
t tm m
t t
−⇔ ⋅ + ⋅ = −
+ +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 24 1 1 1 4 1 2 0t m t m t f t t t m⇔ + − = − + ⇔ = − + − = 
Cách 1: Yêu cầu bài toán ( ) 2 4 1 2 0f t t t m⇔ = − + − = có nghiệm [ ]1,1t ∈ − 
Xét ( )1 0 6 2 0 3f m m− = ⇔ − = ⇔ = thỏa mãn 
Xét ( )1 0 2 2 0 1f m m= ⇔ − − = ⇔ = − thỏa mãn 
Xét ( ) 0f t = có 1 nghiệm ( )1,1t ∈ − và 1 nghiệm [ ]1,1t ∉ − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 6 2 2 2 0 2 6 2 2 0 1 3f f m m m m m⇔ − = − − − < ⇔ − + < ⇔ − < < 
Xét ( ) 0f t = có 2 nghiệm 1 2,t t thỏa mãn 1 21 1t t− < ≤ < 
( ) ( ){ }0; 1. 1 0; 1. 1 0; 1 12Sf f′⇔ ∆ ≥ − > > − < < , hệ này vô nghiệm 
Kết luận: (1) có nghiệm , 1 3
2 2
x m−pi pi ∈ ⇔ − ≤ ≤
  
. 
Cách 2: ( ) 2 4 1 2 0f t t t m= − + − = có nghiệm [ ]1,1t ∈ − 
( ) 21 12
2 2
g t t t m⇔ = − + = có nghiệm [ ]1,1t ∈ − 
Ta có: ( ) [ ] ( )2 0 1,1g t t t g t′ = − < ∀ ∈ − ⇒ nghịch biến trên [ ]1,1− 
Suy ra tập giá trị ( )g t là đoạn ( ) ( ) [ ]1 , 1 1,3g g − ≡ −  . Từ đó (1) có nghiệm 
( ),
2 2
x g t m−pi pi ∈ ⇔ =
  
 có nghiệm [ ]1,1 1 3t m∈ − ⇔ − ≤ ≤ 
www.VNMATH.com
Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 
223 
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 VỚI SINX, COSX 
1. Phương pháp chung 
2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x d+ + + = với ( )2 2 2 0 1a b c+ + > 
Bước 1: Xét cos 0x = có là nghiệm của (1) hay không 0a d⇔ + = 
Bước 2: Xét 0 cos 0a d x+ ≠ ⇒ = không là nghiệm của (1) 
Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x ≠ ta nhận được phương trình 
( ) ( )2 21 tan tan 1 tan 0a x b x c d x⇔ + + + + = . Đặt tant x= 
( ) ( ) ( ) ( )21 0f t a d t bt c d⇔ = + + + + = 
Bước 3: Giải và biện luận ( ) 0f t = ⇒ Nghiệm 0 tgt x= ⇒ nghiệm x. 
2. Các bài tập mẫu minh họa 
Bài 1. a. Giải phương trình: 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − = 
 b. Giải phương trình: 2sin 3sin cos 1 0x x x− + = 
Giải 
a. 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − = (1) 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (1) 
2
2 2
cos 0 sin 1
sin 3 0 sin 3
x x
x x
= = 
⇒ ⇔ 
− = =  
⇒ Vô lý. Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x ≠ ta nhận được 
( ) ( )2 2 21 tan 2 tan 3 3 1 tan 0 2 tan 2 tan 0x x x x x⇔ + + − + = ⇔ − = 
( ) ( )tan 02 tan 1 tan 0
tan 1 4
x kx
x x k
x kx
= pi
=
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ pi
= + pi=  

 
b. 2sin 3sin cos 1 0x x x− + = (2) 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (2) thì từ (2) 2
cos 0
sin 1 0
x
x
=
⇒ 
+ =
⇒ Vô lý 
Chia 2 vế của (2) cho 2cos 0x ≠ ta nhận được phương trình 
( ) ( )2 2 22 tan 3 tan 1 tan 0 2 tan 3 tan 1 0x x x x x⇔ − + + = ⇔ − + =
( ) ( ) ( )
tan 1 tan
4 4tan 1 2 tan 1 0
1tan tan
2
x x k
x x k
x x k
pi
= = pi
= + pi ⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈ 
= = α = α + pi 

 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
224 
Bài 2. a. Giải phương trình: 2 2 54 3 sin cos 4cos 2sin 2x x x x+ = + 
 b. GPT: ( ) ( ) ( ) ( )2 25 33sin 3 2sin cos 5sin 02 2 2x x x x xpi pi pipi − + + + − + = 
Giải 
a. Phương trình ( )2 2 52sin 4 3 sin cos 4cos 0 12x x x x⇔ − − + = 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (1) 2 52sin 02x⇒ + = ⇒ Vô lý 
Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x ≠ ta nhận được phương trình 
( ) ( )2 2 251 2 tan 4 3 tan 4 1 tan 0 9 tan 8 3 tan 3 02x x x x⇔ − − + + = ⇔ − − = 
( )3tan 3 tan tan tan3 9 3x x x k x k k
−pi pi⇔ = = ∨ = = α ⇔ = + pi ∨ = α + pi ∈
 
b. ( ) ( ) ( ) ( )2 25 33sin 3 2sin cos 5sin 02 2 2x x x x xpi pi pipi − + + + − + = 
( )2 23sin 2sin cos 5cos 0 2x x x x⇔ − − = 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (2) cos 0
sin 0
x
x
=
⇒ 
=
 ⇒ Vô lý 
Chia 2 vế của (2) cho 2cos 0x ≠ ta nhận được phương trình 
( ) 2
tan 1 tan
4 42 3 tan 2 tan 5 0
5tan tan3
x x k
x x
x x k
−pi
= − = −pi
= + pi ⇔ − − = ⇔ ⇔ 
= = α = α = pi 
Bài 3. GPT: a. 13 sin cos
cos
x x
x
+ = b. 14sin 6 cos
cos
x x
x
+ = 
Giải 
a. 22
3 sin cos1 13 sin cos 3 tan 1 1 tan
cos cos cos
x x
x x x x
x x x
++ = ⇔ = ⇔ + = + 
( ) { }2 tan 0tan 3 tan 0 tan tan 3 0 ; 3tan 3xx x x x x k kx = pi⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ pi + pi = 
b. 22
4sin 6 cos1 14sin 6 cos 4 tan 6 1 tan
cos cos cos
x xx x x x
x x x
++ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ 
( ) ( )2 tan 1 tan 4 4tan 4tan 5 0 tan 1 tan 5 0
tan 5 tan
x x k
x x x x
x x k
−pi −pi 
= − = = + pi
 
− − = ⇔ + − = ⇔ ⇔
 
= = α = α + pi 
www.VNMATH.com
Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 
225 
Bài 4. Giải phương trình: 2 2 37sin 2sin 2 3cos 3 15 0x x x+ − − = (1) 
Giải 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (1) 2 3
cos 0
7sin 3 15
x
x
=
⇒ 
=
 ⇒ Vô lý 
Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x ≠ ta có ( ) ( )2 231 7 tan 4 tan 3 3 15 1 tan 0x x x⇔ + − − + = 
( ) ( ) ( )23 37 3 15 tan 4 tan 3 3 15 0 2x x⇔ − + − + = . Ta có 3 2325 12 15 9 15′∆ = + − 
Đặt 3 33 515 15 253t t t= ⇒ = ⇒ = , ta sẽ chứng minh ∆′<0 . Thật vậy, ta có: 
( ) ( )3 25 5 129 12 33 3 5t t t t t t′∆ = − + = − − . Do ( )3 3 3122,4 15 3 2, 4 15 35 t< < ⇔ = < = < 
nên suy ra: ( )0 2′∆ < ⇒ vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm. 
Bài 5. Tìm m để: 2cos 4sin cos 2 0m x x x m− + − = có nghiệm ( )0, 4x pi∈ 
Giải 
Với ( )0, 4x pi∈ thì cos 0x ≠ nên chia 2 vế phương trình cho 2cos 0x ≠ ta có 
( ) ( )24 tan 2 1 tan 0m x m x− + − + = . Đặt ( )tan 0,1t x= ∈ . 
Khi đó: ( ) ( )2 2 22 4 2 2 0 2 2 4 2m t t m m t t t− − + − = ⇔ + = + + ⇔ 
( ) ( )2
2
2 2 1
2
t tg t m
t
+ +
= =
+
. Ta có ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 22 2
4 2 4 2 1 0, 0, 1
2 2
t t t tg t t
t t
− − − − +
′ = = > ∀ ∈
+ +
( )g t⇒ tăng / ( ) ( )0,1 g t m⇒ = có nghiệm ( ) ( ) ( )( ) ( )0,1 0 , 1 1, 2t m g g∈ ⇔ ∈ ≡ . 
Bài 6. Cho phương trình: ( ) ( ) ( )2 2sin 2 2 sin cos 1 cos 1x m x x m x m+ − − + = 
a. GPT: 2m = − b. Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Giải 
Nếu cos 0x = là nghiệm của phương trình (1) thì từ (1) suy ra 
2
cos 0
sin
x
x m
=

=
2
22
11sin 1 1
cos 0sin 1sin 2
mmx m
x kxxx m
= == =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔    pi
= + pi===     
Nếu 1m ≠ thì cos 0x = không là nghiệm của (1), khi đó chia 2 vế của (1) cho 
2cos 0x ≠ ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 21 tan 2 2 tan 1 1 tanx m x m m x⇔ + − − + = + 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
226 
( ) ( ) ( )2tan 1 tan 2 1 tan 2 1 0f x m x m x m⇔ = − − − + + = 
a. Nếu 2m = − thì ( ) ( ) 21 3 tan 1 0
4
x x kpi⇔ − − = ⇔ = + pi 
b. (1) có nghiệm 
2
11
1 2 11
0 2 0
mm
m mm
m m
==
 ≠⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤≠   ′∆ ≥
− − + ≥ 
Bài 7. Cho phương trình: ( )2 2cos sin cos 2sin 0 1x x x x m− − − − 
 a. Giải phương trình (1) khi 1m = b. Giải biện luận theo m 
Giải 
a. Với 1m = ta có ( ) 2 21 cos sin cos 2sin 1 0x x x x⇔ − − − = 
( ) { }cos 3sin sin 0 sin 0 co tg 3 cotg ;x x x x x x k k⇔ + = ⇔ = ∨ = − = α ⇔ ∈ pi α + pi 
b. ( ) ( )1 cos 2 11 sin 2 1 cos 2 0 3cos 2 sin 2 2 1
2 2
x x x m x x m+⇔ − − − − = ⇔ − = + 
3 2 11cos 2 sin 2
10 10 10
mx x +⇔ − = . Đặt 3 1cos , sin
10 10
α = α = , khi đó ta có 
( )2 1 2 1cos cos 2 sin sin 2 cos 2
10 10
m mx x x+ +α − α = ⇔ + α = 
+ Nếu 1 10 1 102 1 1
2 210
m m m
   
− − − ++ > ⇔    
   
∪ thì (2) vô nghiệm 
+ Nếu 1 10 1 102 1 1 ,
2 210
m m
 
− − − ++ ≤ ⇔ ∈   
 thì đặt 2 1 cos
10
m +
= β 
Khi đó ( ) ( ) ( )1 2 cos 2 cos
2
x x k±β − α⇔ ⇔ + α = β ⇔ = + pi 
Bài 8. Giải và biện luận: ( )2 2sin 4sin cos 2cos 0 1m x x x x+ + = 
Giải 
• 0m = , ( ) ( ) { }cos 01 2cos 2sin cos 0 ;2cot 2 cotxx x x x k kx = pi⇔ + = ⇔ ⇔ ∈ + pi α + pi = − = α 
• 0m ≠ thì ( ) 21 tan 4 tan 2 0m x x⇔ + + = với 4 2m′∆ = − 
+ Nếu 2m > thì (1) vô nghiệm; Nếu 2m = thì tan 1
4
x x k−pi= − ⇔ = + pi 
+ Nếu 0 2m≠ < thì 2 4 2tan tanmx x k
m
− ± −
= = β ⇔ = β + pi . 
www.VNMATH.com
Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 
227 
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 3 VỚI SINX, COSX 
1. Phương pháp chung 
3 2 2 3sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x+ + + = với ( )2 2 2 2 0 1a b c d+ + + > 
( )3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x m x n x+ + + + + = 
Bước 1: Xét cos 0x = có là nghiệm của phương trình hay không 
Bước 2: Xét cos 0x ≠ không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của (1) 
cho 3cos 0x ≠ và sử dụng công thức ( )2 22 3sin1 1 tan ; tan 1 tancos cos
xx x x
x x
= + = + 
ta nhận được phương trình bậc 3 ẩn tan x . 
Bước 3: Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tg x . 
2. Các bài tập mẫu minh họa 
Bài 1. Giải phương trình: ( )3 3 24sin 3cos 3sin sin cos 0 1x x x x x+ − − = 
Giải 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 
3 3
cos 0 sin 1 sin 1
4sin 3sin 0 4sin 3sin 0
x x x
x x x x
= = ∨ = −  
⇔ ⇒ 
− = − =  
 Vô lý 
Chia 2 vế của (1) cho 3cos 0x ≠ ta có ( ) ( )3 2 21 4tan 3 3tan 1 tan tan 0x x x x⇔ + − + − = 
( ) ( ) ( )3 2 2 2 2tan tan 3 tan 1 tan tan 0 tan 1 tan 3 0x x x x x x x⇔ − − + − = ⇔ − − = 
( )tan 1 tan 3
4 3x x x k x k k
pi pi⇔ = ∨ = ± ⇔ = + pi ∨ = ± + pi ∈
 
Bài 2. Giải phương trình: ( )3sin 2 .sin 2 sin 3 6 cos 1x x x x+ = 
Giải 
( ) ( ) 3 31 sin 2sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x x⇔ + − = 
3 2 34sin 3sin 2sin cos 6 cos 0x x x x x⇔ − − + = (2) 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (2) thì từ (2) suy ra 
3 3
cos 0 sin 1 sin 1
4sin 3sin 0 4sin 3sin 0
x x x
x x x x
= = ∨ = −  
⇔ ⇒ 
− = − =  
 Vô lý 
Chia 2 vế của (2) cho 3cos 0x ≠ ta có ( ) 3 22 tan 2 tan 3 tan 6 0x x x⇔ − − + = 
( ) ( ) { }2tan 2 tan 3 0 tan 2 tan tan 3 ; 3x x x x x k kpi⇔ − − = ⇔ = = α ∨ = ± ⇔ ∈ α + pi ± + pi 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
228 
Bài 3. Giải phương trình: 1 3sin 2 2 tanx x+ = 
Giải 
Điều kiện: ( )cos 0 1
2
x x kpi≠ ⇔ ≠ + pi 
2 2
1 11 3sin 2 2 tan 1 6sin cos 2 tan 6 tan 2 tan
cos cos
x x x x x x x
x x
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⋅ 
( ) ( )2 2 3 21 tan 6 tan 2 tan 1 tan 2 tan tan 4 tan 1 0x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ − − − = 
( ) ( )2
1,2 1,2
tan 1
4tan 1 2 tan 3 tan 1 0 3 17tan tan
4
x
x n
x x x
x x n
= − pi 
= − + pi
 ⇔ + − − = ⇔ ⇔± = = α = α + pi 
Bài 4. Giải phương trình: ( )32 sin 2sin4x xpi+ = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )3 331 2 2 sin 4sin 2 sin 4sin sin cos 4sin4 4x x x x x x xpi  pi ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =   
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 
3 3
cos 0 sin 1 sin 1
sin 4sin sin 4sin 0
x x x
x x x x
= = ∨ = −  
⇔ ⇒ 
= − =  
 Vô lý 
Chia 2 vế của (1) cho 3cos 0x ≠ ta có 
( ) ( ) ( )3 2 2 2 31 tan 1 4tan 1 tan tan 3tan 3tan 1 4tan 4 tanx x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + + + = + 
( ) ( )3 2 23tan 3tan tan 1 0 tan 1 3tan 1 0 tan 1
4
x x x x x x x kpi⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = + pi
Bài 5. Giải phương trình: ( )38cos cos 33x xpi+ = 
Giải 
( ) 338cos cos 3 8 cos .cos sin sin cos 33 3 3x x x x xpi pi pi + = ⇔ − =   
( ) ( ) ( )3 33 3cos 3 sin 4cos 3cos 3 sin cos 3cos 4cos 0 1x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − − + =
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 
2 2cos 1 0 cos sin 1 0 1
sin 0
x
x x
x
=
⇒ = + = ⇒ = ⇒
=
 Vô lý 
www.VNMATH.com
Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 
229 
Chia 2 vế của (1) cho 3cos 0x ≠ ta có ( ) ( ) ( )3 21 3. tan 1 3 1 tan 4 0x x⇔ − − + + = 
( ) ( )23 23 3 tan 3 3 tan 3 3 tan 1 3 1 tan 4 0x x x x⇔ − + − − + + = 
( )3 2 23 3 tan 12 tan 3 3 tan 0 tan 3 tan 4 tan 3 0x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = 
{ } ( )1tan 0 tan tan 3 ; ;6 33x x x x k k k kpi pi⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ pi + pi + pi ∈
 
Bài 6. Giải phương trình: ( )3sin 2 sin4x xpi− = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) 331 2 2 sin 4sin 2 sin 4sin4 4x x x xpi  pi ⇔ − = ⇔ − =   
( ) ( ) ( )3 3 2sin cos 4sin tan 1 4 tan 1 tanx x x x x x⇔ − = ⇔ − = + 
3 2 3 3 2tan 3 tan 3 tan 1 4 tan 4 tan 3 tan 3 tan tan 1 0x x x x x x x x⇔ − + − = + ⇔ + + + = 
( ) ( ) ( )2tan 1 3 tan 1 0 tan 1 0 tan 1
4
x x x x x k kpi⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + pi ∈
 
Bài 7. Giải phương trình: 3 5sin 4 cos6sin 2cos
2 cos 2
x xx x
x
− = (1) 
Giải 
Điều kiện: ( )cos 2 0 2 2
2 4 2
kx x k xpi pi pi≠ ⇔ ≠ + pi ⇔ ≠ + 
Với điều kiện (2) ta có ( ) 31 6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x⇔ − = 
( )3 3 26sin 2cos 5 2sin cos cos 3sin cos 5sin cos 0x x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − = (3) 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (3) thì từ (3) suy ra 
2 2cos 0 0 sin cos 1 0 1
sin 0
x
x x
x
=
⇒ = + = ⇒ = ⇒
=
 Vô lý 
Chia 2 vế của (3) cho 3cos 0x ≠ ta có 
( )23 tan 1 tan 1 5 tan 0x x x+ − − = ⇔ ( ) ( )2tan 1 3. tan 3 tan 1 0x x x− + + = 
( ) ( )21 1tan 1 3 tan 0 tan 12 4 4x x x x n  pi⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + pi   
Do 
4
x npi= + pi mâu thuẫn với (2): 
4 2
kx pi pi≠ + nên phương trình (1) vô nghiệm. 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
230 
Bài 8. ( ) ( ) ( ) ( )3 24 6 sin 3 2 1 sin 2 2 sin cos 4 3 cos 0m x m x m x x m x− + − + − − − = 
a. Giải phương trình khi 2m = 
b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 0,
4
x pi ∈
  
Giải 
Nếu cos 0x = là nghiệm của phương trình thì từ phương trình suy ra 
( ) ( ) ( ) ( )3 3
cos 0 sin 1 sin 1
4 6 sin 6 3 sin 0 4 6 sin 6 3 sin
x x x
x m x m x m x
= = ∨ = −  
⇔ ⇒ 
− + − = − + −  
 Vô lý 
Chia 2 vế của phương trình cho 3cos 0x ≠ ta có phương trình 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 24 6 tan 3 2 1 tan 1 tan 2 2 tan 4 3 1 tan 0m x m x x m x m x⇔ − + − + + − − − + =
( ) ( ) ( )3 2tan 2 1 tan 3 2 1 tan 4 3 0x m x m x m⇔ − + + − − − = 
( ) ( )[ ] ( )2tan 1 tan 2 tan 4 3 0 1x x m x m⇔ − − + − = 
a. Nếu 2m = thì ( ) ( ) ( )21 tan 1 tan 4 tan 5 0x x x⇔ − − + = 
( ) ( ) ( )2tan 1 tan 2 1 tan 1
4
x x x x k kpi ⇔ − − + ⇔ = ⇔ = − pi ∈  
 
b. Đặt [ ]tan 0,1 0,
4
t x x pi = ∈ ∀ ∈
  
, khi đó phương trình 
( ) ( ) ( ) [ ]2
2
1 0 1 0,1
1 1 2 4 3 0
2 4 3 0
t t
t t mt m
t mt m
 − = ⇔ = ∈
⇔ − − + − = ⇔ 
− + − =
Xét phương trình: 2 2 4 3 0t mt m− + − = với [ ]0,1t ∈ 
( ) ( ) 22 33 2 2 2
2
tt m t g t m
t
−⇔ − = − ⇔ = =
−
. Ta có ( ) ( ) ( )( ) [ ]2
1 3 0 0, 1
2
t tg t t
t
− −
′ = ≥ ∀ ∈
−
( )g t⇒ đồng biến trên [ ]0,1 ⇒ Tập giá trị ( )g t là ( ) ( )[ ] 30 , 1 ; 22g g  =    
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( )0, 4x pi∈ thì phương trình ( ) 2g t m= 
hoặc vô nghiệm [ ]0,1t ∈ hoặc có đúng 1 nghiệm 1t = 
( ) 2g t m⇔ = vô nghiệm [ )
2 2 1
0,1 3 32
2 4
m m
t
m m
≥ ≥ 
 ∈ ⇔ ⇔
< < 
 
www.VNMATH.com
Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 
231 
www.VNMATH.com