Ôn tập hình học không gian giải tích

Ôn tập hình học không gian giải tích
Một số công thức quan trọng:
Độ dài đoạn thẳng và độ dài của 1 vectơ (môđun của vectơ):
Cho A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) ta có: 
Tích vô hướng của hai vectơ:
Cho Ta có: 
Hai vectơ vuông góc với nhau
Côsin của góc giữa hai vectơ: 
Cho Ta có: 
Côsin của góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng () và ():
 () đi qua M và có vectơ chỉ phương 
 () đi qua N và có vectơ chỉ phương 
Ta có: 
Côsin của góc giữa hai mặt phẳng:
Cho mặt phẳng () và mặt phẳng ()
() có vectơ pháp tuyến 
() có vectơ pháp tuyến 
Ta có: 
Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng () và mặt phẳng ()
() đi qua M và có vectơ chỉ phương 
() có vectơ pháp tuyến 
Ta có: 
Tích có hướng của hai vectơ:
Cho Ta có 
Diện tích của tam giác:
Cho ABC. Ta có: S=
Diện tích tứ giác:
Cho tứ giác ABCD. Ta có : S=
Thể tích tứ diện 
Cho tứ diện ABCD. Ta có : V=
Thể tích hình hộp 
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Ta có : V=
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Cho điểm M(x0,y0,z0) và mặt phẳng : ax+by+cz+d=0 .Ta có:
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm M(x0,y0,z0) và đường thẳng () đi qua điểm A(x1,y1,z1) và () có vectơ chỉ phương Ta có 
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
Cho 2 đường thẳng () và () chéo nhau :
() đi qua M và có vectơ chỉ phương 
 () đi qua N và có vectơ chỉ phương 
Ta có: d(,)=
II.Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1. Phương trình đường thẳng trong không gian:
Cho đường thẳng (d): 
Phương trình tham số của (d): 
Phương trình chính tắc của (d): 
2. Phương trình mặt phẳng trong không gian:
Cho mặt phẳng (P): 
Chú ý: +2 đường thẳng (hoặc đường thẳng và mặt phẳng; hoặc 2 mặt phẳng) “ song song” thì có cùng vectơ , “vuông góc” thì có vectơ khác loại .
 + Tích có hướng của 2 vtpt cho ta 1 vtcp (“2 chỉ được 1 pháp”)
Ngược lại, tích có hướng của 2 vtcp cho ta 1 vtpt (“2 pháp được 1 chỉ”)
Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường thẳng; đường thẳng và mặt phẳng; mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian:
Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng (4 điểm lập thành 1 tứ diện):
Cho 4 điểm A, B, C, D. Khi chứng minh 4 điểm này lập thành 1 tứ diện ta có 2 cách sau:
Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng (BCD) và thay tọa độ điểm A vào ta thấy không thỏa mãn
Cách 2: Chứng minh: 
Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng () và ():
() đi qua M và có vectơ chỉ phương 
 () đi qua N và có vectơ chỉ phương 
* 
* 
() ()
Chú ý: Nếu ta có thể lập hệ phương trình của () và () 
 + Hệ có nghiệm thì () và () cắt nhau.
 + Hệ vô nghiệm thì () và () chéo nhau.
Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng () và mặt phẳng ()
() đi qua M và có vectơ chỉ phương 
() có vectơ pháp tuyến 
* 
Mối quan hệ giữa mặt phẳng và mặt phẳng:
Cho mặt phẳng () và mặt phẳng ()
()
()
* 
* 
* 
Phương trình mặt cầu trong không gian:
Phương trình mặt cầu dạng chính tắc:
Mặt cầu (S) : 
Phương trình mặt cầu dạng khai triển (dạng tổng quát):
Cho phương trình
Nếu thì phương trình trên là phương trình mặt cầu (S) có
BÀI TẬP
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
(d) đi qua A(3,2,6) và có vtcp: =(2,-1,4) 
(d) đi qua B(-2,-4,3) và song song với đường thẳng 
(d) đi qua C(1,3,-2) và D(0,-2,3)
(d) đi qua E(1,7,2) và vuông góc với mặt phẳng: 
(d) đi qua F(-2,1,5) và vuông góc với 2 đường thẳng sau:
(d) đi qua G(4,9,-6) và song song với 2 mặt phẳng sau:
(d) đi qua H(-1,-2,5) ; vuông góc và cắt đường thẳng 
(d) vuông góc và cắt 2 đường thẳng: 
(d) đi qua I(-2,5,0), vuông góc với đường thẳng và song song với mặt
phẳng: 
(d) vuông góc với đường thẳng , đồng thời (d) nằm
trong mặt phẳng : x+y-z-4=0 và đi qua J(1,1,-2) 
(d) đi qua K(2,3,1) và cắt cả 2 đường thẳng: 
(d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng
: 2x+5y+7z-7=0
(d) đi qua giao điểm của 3 mặt phẳng: (P1): 2x-y+z-6=0; (P2): x+4y-2z-8=0;
(P3): y=0 đồng thời vuông góc với giao tuyến của (P1) và (P2)
(d) cách đều 3 điểm L(1,2,3); M(-3,5,-8); N(-9,0,2)
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng biết:
đi qua A(1,2,3); B(-1,2,5); C(-2,7,1)
đi qua D(-4,6,2) và vuông góc với đường thẳng 
 đi qua E(7,6,1) và song song với 2 đường thẳng 
 đi qua F(-4,5,2) và vuông góc với 2 mặt phẳng :x-8y+z-1=0 và : x+y+z=0
 đi qua G(0,1,1) và song song với mặt phẳng : 3x-y-z-2=0
 đi qua 2 điểm H(4,1,7) và I(-5,2,2) đồng thời song song với đường thẳng
đi qua 2 điểm J(-1,1,1); K(2,0,0) và vuông góc với mặt phẳng :x-y=0
chứa đường thẳng và song song với 
 đi qua L(10,2,-5) và song song với đường thẳng 
và vuông góc với mặt phẳng :4x-7y+z+9=0
Cho mặt phẳng (P) đi qua M(2,-2,1) và chứa đường thẳng
 Viết phương trình mặt phẳng đi qua N(1,4,2) và song song với (P)
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) thỏa:
(S) có tâm I(1,2,4) và có bán kính R=3
(S) có tâm J(-2,1,-5) và đi qua M(2,5,3)
(S) có đường kính AB với A(3,5,7); B(-1,-1,3)
(S) đi qua 4 điểm C(3,-2,-6); D(8,10,7); E(-9,1,3); F(6,2,-5)
(S) có tâm G(-5,3,2) và tiếp xúc với mặt phẳng :x+y+z+9=0 
(S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng và có
tâm nằm trên đường thẳng 
(S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng và có
tâm nằm trên đường thẳng
(S) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với 2đường thẳng: 
Một số bài toán tổng hợp và bài thi:
Bài 1: Cho hai điểm A(3,2,-2); B(5,3,-5) và mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0
Tìm hình chiếu của A trên (P)
Tính độ dài hình chiếu của AB trên (P)
Tìm M trên (P) sao cho AM+MB nhỏ nhất
Tìm M trên (P) sao cho |AM-MB| lớn nhất
Tìm M trên (P) sao cho vectơ có độ dài nhỏ nhất 
Tìm M trên (P) sao cho biểu thức T=3AM2-2BM2 có giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Cho ABC với A(1,2,3); B(2,0,4); C(3,1,2)
Viết phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và
vuông góc với (ABC).
Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
Viết phương trình đường cao qua A của ABC
Viết phương trình đường phân giác trong góc A của ABC
Tính tọa độ trực tâm của ABC
Tìm D thuộc đường thẳng (d): x=y=z sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 6