Ôn tập Giải tích lớp 12

1.Điều kiện tồn tại biến đổi Laplace :
1.1.Điều kiện tồn tại : 
 (1.1)
 (1.2)
Biến đổi Laplace của hàmđược gọi là tồn tại nếu tích phân (1.1) hội tụ trong một miền nào đó. Tích phân (1.1) phân kỳ thì không tồn tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm.
1.2.Lớp : là tập hợp các hàm xác định trên khoảng và tồn tại biến đổi Laplace .
Định nghĩa : một hàm có bậc mũ nếu tồn tại hằng số và một số sao cho :
; .
Định lý 1.1: Nếu liên tục từng khúc trên đoạn và có bậc mũ thì biến đổi Laplace tồn tại và hội tụ tuyệt đối với .
 Chứng minh:
+ Hàmcó bậc mũ nên tồn tại hằng số và một số sao cho 
; .
+ Hàm liên tục từng khúc trên đoạn và do đó bị chặn trên đoạn đó
 sao cho 
+ Vì hàm có một cực tiểu dương trên đoạn nên ta có thể chọn được một hằng số dương đủ lớn sao cho 
+Ta có :
 Cho và lưu ý rằng ta suy ra
 Do đó, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối với .
Nhận xét : Có những hàm thuộc lớp nhưng không thỏa mãn điều kiện của định lý.
Ví dụ 1: Hàm liên tục trên , không có bậc mũ. Nhưng có biến đổi Laplace.
Ví dụ 2: Hàm không liên tục từng khúc trên vì, ,có bậc mũ .Hàm có biến đổi Laplace.
2.Biến đổi Laplace ngược :
2.1.Khái niệm : 
Nếu thì biến đổi Laplace ngược được xác định bởi công thức
Nó ánh xạ biến đổi Laplace của một hàm trở lại thành hàm ban đầu.Hàm ban đầu được gọi là hàm gốc, hàm gọi là hàm ảnh.
-Nhận xét : có thể có nhiều hơn một hàm.
2.2.Điều kiện tồn tại biến đổi Laplace ngược :
Định lý 2.1: Nếu là liên tục từng khúc trên và có bậc mũ thì 
 khi 
Chú ý : như một hệ quả, bất kỳ hàm không có tính chất này thì không thể là biến đổi Laplace của bất cứ hàm nào.
Định lý 2.2 :(Định lý Lerch)
Các hàm xác định liên tục trên có biến đổi Laplace ngược hoàn toàn xác định (xác định duy nhất).
-Nhận xét : biến đổi Laplace ngược cũng có tính chất tuyến tính, tức là
 với 
Điều này được suy ra từ tính chất tuyến tính của và đẳng thức được xác định trong miền xác định chung của và 
2.3. Một số phương pháp tìm hàm gốc :
+ Sử dụng kết quả của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược.
+ Khai triển chuỗi lũy thừa đối với hàm ảnh .
+ Biến đổi Laplace ngược của một phân thức hữu tỷ .
2.3.1.Sử dụng kết quả của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược:
Ví dụ 3. Xét hàm , với là số thực. Đó là hàm liên tục trên và có bậc mũ . Khi đó
,với . 
Việc tính toán tương tự cũng nhận được kết quả với số phức mà .
Ví dụ 4. Áp dụng tích phân từng phần đối với hàm liên tục và có bậc mũ, ta nhận được
 ()
Lấy tích phân từng phần hai lần như trên, ta nhận được
Bằng quy nạp ta có 
Ví dụ 5. Xét các hàm :
 ( Hàm cosin hyperbolic )
 (Hàm sin hyperbolic)
Trước hết ta tính
+
+Tương tự có : 
+
+Tương tự có : 
Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ta có :
.
Tương tự, ta cũng tính được
Ví dụ 6. Cho là một đa thức bậc . Khi đó, do tính chất tuyến tính của Laplace và ví dụ 4 ở trên , ta nhận được
2.3.2.Khai triển chuỗi lũy thừa đối với hàm ảnh :
 Trong trường hợp tổng quát, ta không thể thu được biến đổi Laplace của một chuỗi vô hạn bằng việc lấy biến đổi từng số hạng của chuỗi 
Ví dụ 7. Xét chuỗi hàm
.
Lấy biến đổi Laplace từng số hạng của chuỗi hàm, ta được
 .
Sử dụng tiêu chuẩn Dalembert, ta có
.
Do đó chuỗi phân kỳ với mọi giá trị của .
	Tuy nhiên là tồn tại vì liên tục và bị chặn trên .
Vậy khi nào thì ta có thể thu được biến đổi Laplace của một chuỗi vô hạn bằng việc lấy biến đổi từng số hạng của chuỗi.
Định lý 2.3. Giả sử chuỗi hàm hội tụ với mọi và 
, 
với mọi đủ lớn và . Khi đó, ta có
.
Chứng minh. Bởi vì được biểu diễn bởi một chuỗi hội tụ, nên nó là liên tục trên . Chúng ta chứng tỏ rằng hiệu
hội tụ tới khi . Ở đó 
.
Thật vậy, từ giả thiết và bởi vì nên ta có
Vì nếu kéo theo khi biến đổi tồn tại, nên
 .
khi . Chúng ta đã sử dụng chuỗi hình học có tổng 
.
Do đó
.
Ví dụ 8. Xét hàm 
.
Ta có
..
Do đó ta có thể áp dụng định lý 2.3 và nhận được
 .
Ở đó, ta đã sử dụng kết quả
 .
với vì ta có thể tích phân từng số hạng của chuỗi hàm.
2.3.3. Biến đổi Laplace ngược của một hàm phân thức hữu tỷ :
-Xét các hàm phân thức hữu tỷ có dạng 
Ở đó bậc của lớn hơn bậc của ,hệ số của lũy thừa lớn nhất củabằng 1.
Ta viết dưới dạng tích của các thừa số có dạng 
và với : 
Khi đó ta có :
Các hằng số được tìm theo phương pháp hệ số bất định. Do biến đổi Laplace có tính chất tuyến tính nên để đơn giản hóa ta có thể coi các hệ số bằng 1.
 Xác định chuyển về xác định hai loại biến đổi Laplace ngược sau
 và 
Các định lý biến đổi
Định lý 2.4. (Định lý biến đổi thứ nhất)
Nếu với thì 
 với số thực và .
 (Công thức chuyển dịch)
Chứng minh: với ta có
,với ,.
 Định lý 2.5.(Định lý biến đổi thứ hai)
Nếu với thì 
 với .
Với là hàm bước nhảy đơn vị.
-Loại thứ 1: xác định .
 Ví dụ 4 ở trên 
+Với 
Sử dụng định lý biến đổi chuyển dịch
+Với 
+Tổng quát :
 ,
 ,
 ,
-Loại thứ 2 : xác định .
Chuyển hàm ảnh về dạng hoặc 
Ta có:
-Ví dụ 9 : 
 Cho .Tìm 
Cách 1 :
 .
Cách 2 :
.
Ví dụ 10:
Cho .Tìm 
Ví dụ 11 :
Cho .Tìm 
3.Đạo hàm của biến đổi Laplace:
-Định lý 3.1 :Cho là một hàm liên tục từng khúc trên có bậc mũ và . Khi đó : 
, với và . (3.1)
Chứng minh:
Bởi vì với bất kỳ ta có thể tìm được một số sao cho , nên kết quả trên được đảm bảo cho bất kỳ . Đạo hàm được lặp lại liên tiếp cho ta công thức tổng quát.
+Với ta có thể biểu diễn (3.1) như sau :
 , (3.2)
 (3.3) , với .
-Ví dụ 12:
-Ví dụ 13 :
 Tìm 
 Ta có 
 .
4.Tích phân của biến đổi Laplace :
-Định lý 4.1:
Cho là một hàm liên tục từng khúc trên có bậc mũ và . Khi đó, nếu tồn tại thì ,.
 Chứng minh :
Tích phân cả hai vế của phương trình ta nhận được
 Vì tích phân hội tụ đều với , chúng ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân và nhận được 
Sự tồn tại của được đảm bảo do giả thiết.
-Ví dụ 14:
 .
với , 
5.Biến đổi Laplace của đạo hàm:
-Định lý 5.1 :
 Giả sử là một hàm liên tục trên có bậc mũ và liên tục từng khúc trên . Khi đó 
 , với (5.1)
Chứng minh:
 Tích phân từng phần ta được
 với .
( Trên đây ta đã sử dụng đánh giá với thì 
Cũng lưu ý rằng là tồn tại vì tồn tại.)
Từ đó ta nhận được điều phải chứng minh 
Rõ ràng nếu liên tục tại thì . Khi đó công thức (5.1) trở thành
 (5.1.1)
-Lưu ý : nếu thì công thức (5.1) trở thành
 với (5.1.2)
-Chú ý : Điểm đặc biệt của định lý biến đổi Laplace của đạo hàm là chúng ta thu được mà không cần đòi hỏi phải có bậc mũ.
-Ví dụ 15 : Tính 
Xét hàm 
Ta có 
Từ công thức (5.1.1) ta có 
Suy ra 
-Tương tự ta có 
-Ví dụ 16 : Sử dụng công thức (5.1.2) 
 với 
Tính được 
-Định lý 5.2 :
 Giả sử hàm liên tục trên trừ ra một điểm gián đoạn nhảy và có bậc mũ 
Nếu liên tục từng khúc trên thì
 với . (5.2)
 Chứng minh :
Tích phân từng phần ta được 
Do đó
-Nếu hàm có hữu hạn các điểm gián đoạn nhảy thì công thức trở thành 
 (5.3)
6.Phụ lục :
Bảng biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
Stt
Hàm ảnh 
Hàm gốc 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
16
1
17
18
19
20