Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Lê Văn Lục – THPT Đoàn Thượng

Bài 1
MỘT SỐ TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT CỦA TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững các tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nắm vững tích phân với cận đối xứng của hàm chẵn và hàm lẻ từ đó áp dụng vào tính một số tích phân cụ thể
HS nắm vững sáu bài toán cơ bản về tích phân và biết áp dụng chúng
II. Nội dung bài dạy
Bài toán 1. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
a) 	c) 
b) 	d) 
Bài toán 2. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
Ví dụ 2. Cho . Tính với a, b dương bất kì.
Bài toán 3. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
 với b > 0 bất kì
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
a) 	c) 
b) 	d) 	e) 
Ví dụ 4. Cho b Î R và I(a) = . Tính 
Bài toán 4. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 1] khi đó
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a) 	c) 
b) 	d) 
e) 	f) 
Bài toán 5. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs liên tục trên đoạn [0 ; 1] thì
Tổng quát: Nếu f(x) liên tục trên [-a ; a] và f(x) = f(a + b - x), "x Î [-a ; a] thì
Ví dụ 6. Tính các tính phân sau:
a) 	b) 	 c) 
Bài toán 6. Giả sử f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau:
a) 	b) 	c) 
Ví dụ 8. Với 0 < t < , đặt I(t) = . Tính I(t) và chứng minh rằng:
Ví dụ 9. Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 
Tính In = áp dụng tính 
Bài tập về nhà
1) 	 2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
10) 	11) 3) 
12) 
Bài 2
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững hai công thức đổi biến số
HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
* Công thức đổi biến số dạng 1
* Quy tắc đổi biến số dạng 1
* Công thức đổi biến số dạng 2
* Quy tắc đổi biến số dạng 2
Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	3) 	
4) 	5) 	6) 	
7) 	8) 	9) 	
10) 	11) 	12)	
13) 	14) 	15) 	
16) 	17) 	18) 	
19) Đặt t = 1 + xex	20) 	21) 
22) 	23) 	24) 
25) 	26) 	27) 
28) 	29) 	30) 
Bài 3
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững công thức tích phân từng phần và hiểu bản chất công thức
HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
31) 	32) 	33) 
34) 	35) 	36) 
37) 	38) 	39) 
40) 	41) 	42) 
43) 	44) 	45) 
46) 	47) 	48) 
49) 	50) 	51) 
52) 	53) 	54) 
Bài 4
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 
I. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần, bảng các nguyên hàm cơ bản.
HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm hữu tỉ và vô tỉ
HS vận dụng thành thạo vào giải toán
II. Nội dung bài dạy
Bài toán tổng quát. Cho P(x) và Q(x) là các đa thức. Tính tích phân sau:
Giáo viên nêu cách giải sau đó áp dụng vào giải các bài tập sau:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	3) 	
4) 
5) 
(Nếu việc giải hệ để tìm các hệ số gặp khó khăn ta có thể gán cho x = 0 Þ A = 1; 
x = -1 Þ B = - 1/3 )
6) 	7) 	
8) 
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
BTVN	1, 
2, 	3, 
4, 	5, 	
6, 	7, 
Bài 5
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ 
A. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các bài toán tích phân, bảng các nguyên hàm cơ bản.
HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vô tỉ
HS vận dụng thành thạo vào giải toán
B. Nội dung bài dạy
 I. Dạng 1. Tích phân dạng: 
Nx: . Thật vậy: Đặt 
* Nếu a > 0, biến đổi 
* Nếu a < 0, , đặt t = k.sinu
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	
3) 	4) 
5) 
Cách 1: Làm theo phương pháp trên.
Cách 2: * Nếu x > -1, đặt: 
* Nếu x < -2 , đặt: 
Cách 3. Sử dụng phép thế ơle.
II. Dạng 2. Tích phân dạng: 
Biến đổi: 
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	
3) 	4) 
III. Dạng 3. Tích phân dạng 
Cách giải: Sử dụng phép thế Ơle.
	+ Nếu a > 0, đặt 
	+ Nếu c > 0, đặt 
	+ Nếu ttb2: ax2 + bx + c có nghiệm x0, đặt 
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1) (HVKTQS – 99)	2) 
3) 	4) 
Bài 5
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ (TIẾP)
A. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các bài toán tích phân, bảng các nguyên hàm cơ bản.
HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vô tỉ
HS vận dụng thành thạo vào giải toán
B. Nội dung bài dạy
IV. Dạng 4. Tích phân dạng
Cách giải:
Tổng quát: 
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 
V. Dạng 5. Tích phân dạng: 
Cách giải: Đặt 
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1) 	 	2) (đhan-01)
3) 	4) 
Đặt 
VI. Một số tích phân khác.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1) . (HVHCQG – SP – 01)
Đặt 
2) . Đặt 
3) Đặt 
4) 
Đặt 
5) 
6) 
7) Đặt 
Bài 7. Tính các tích phân sau:
1) . Đặt 
2) Đặt 
3) Đặt 
Bài 8. Tính các tích phân sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
BTVN
1) 	2) 	3) 	
4) 	 	5) 	6) 
7)	8) 	9) 
10) 	11) 	12) 
13) 	 	14) 	15) 	
16) 	17) 	18) 
19) 
BÀI 6
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
I. Mục tiêu bài dạy
HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II. Nội dung bài dạy
Lí thuyết
Bài tập
* Dạng 1. 
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1)
2) 
* Dạng 2. 
Tồn tại cách phân tích duy nhất:
asinx + bcosx + c = a(msinx + ncosx + p) + b(mcosx – nsinx) + g, với mọi x
Û asinx + bcosx + c = (am - bn)sinx + (an - bm)cosx + ap + g, với mọi x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1) 
2)	3) 
4) 
5) 
* Dạng 3. . f là hs hữu tỉ đối với sinx và cosx.
+ đặt t = cosx
+ đặt t = sinx
+ đặt t = tanx
+ Có thể đặt 
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 
6) 	Cách 1: Đặt t = cosx Þ dài
 Cách 2: Mũ của sinx và cosx hơn kém nhau 2 đơn vị.
7) 	8) 	9) 
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1) (ĐHBK – 00)
2) 
BÀI 6
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC (TIẾP)
I. Mục tiêu bài dạy
HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II. Nội dung bài dạy
Lí thuyết
Bài tập
* Một số tích phân khác
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	3) 	4) 
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	3) 	4) 
5) 
Bài 7. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	3) 	4) 
Bài 8. Tính các tích phân sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 
Bài 9. Tính các tích phân sau:
1) =	
Do là hs lẻ nên 
2) 
Cách 1: Đặt 
Cách 2: Đặt 
Do hs là hs lẻ.
BT:
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
7) 	 	8) 	
9) 	10) 	
11) 	12) 	
13) 	14) 	
15) 	16) 
17) 	18) 	
19) 	20) 	
21) 	22) 	
23) 	24) 
25) 	26) 	
27) 	28) 	
29) 	30) 
31) 	32) 
BÀI 7
TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững các kiến thức về GTTĐ và tích phân, đặc biệt là các tính chất của nó
HS giải thành thạo các tích phân có chứa dấu GTTĐ
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Một số phép biến đổi vi phân thường gặp.
+ hay 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
2. Một số tính chất của tích phân.
	1) Đảo cận, đảo dấu: 	
	2) Tách cận tích phân: 
	3) Không phụ thuộc biến số tích phân: 
	4) Bất đẳng thức tích phân: nếu f(x) ³ g(x), "x Î [a ; b] thì : 
3. Quy tắc đổi biến số. 
	Bước 1: Đặt x = j(t) (hoặc t = j(x)) Þ dx = j’(t)dt (hoặc dt = j’(x)dx)
	Bước 2: Đổi cận	x = a Þ j(t) = a Þ t = a
	x = b Þ j(t) = b Þ t = b
	Bước 3: Áp dụng công thức
4. Công thức tích phân từng phần.
Muốn tính tích phân I = ta làm như sau:
Bước 1. Giải phương trình f(x) = 0 với x Î (a ; b). Giả sử các nghiệm là x1 và x2.
Bước 2. Tách cận tích phân
I = 
Bài 1. Tính các tích phân sau:
	e) = 4
	f) 
	g) 
K =	h) 
Bài 2. Tính các tích phân sau:
 a) 	c) 
 b) 	d) 
Bài 3. Cho f(x) là hàm số liên tục trên và thoả mãn 
Tính I =
Đặt t = - x Þ
Bài 4. Tìm m để I(m) = đạt giá trị nhỏ nhất.
BÀI 8
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRÒN XOAY
I. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân
HS nắm vững công thức tính diện tích, thể tích
HS giải thành thạo các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b
được cho bởi công thức sau S = 
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y), y = a và y = b
được cho bởi công thức sau S = 
3. Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y = g(x) thì trước tiên ta giải phương trình f(x) = g(x) để tìm ra các nghiệm x1 < x2 < x3. Khi đó
S = 
4. D = {y = f(x), trục Ox, x = a, x = b}. Cho D quay xung quanh Ox được vật thể tròn xoay có thể tích là V = 
5. D = {x = f(y), trục Oy, y = a, y = b}. Cho D quay xung quanh Oy được vật thể tròn xoay có thể tích là V = 
* Chú ý
+ D = {y = f(x), y = g(x), x = a, x = b} và nếu f(x) ³ g(x), "x Î [a ; b] thì
VOx = 
+ Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi nhiều đường thì ta tìm giao điểm của các đường đó và chia hình phẳng D thành các hình phẳng đơn giản sao cho có thể vận dụng được công thức.
B. Bài tập
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
x = 1, x = e, y = 0, .
y2 = 2x, y = x, y = 0 và y = 3.
y = - và x2 + 3y = 0.
y2 + x – 5 = 0 và x + y – 3 = 0
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
y = |x2 – 1| và y = |x| + 5
x = , x + y – 2 = 0 và y = 0.
y = x, y = 0 và y = 4 – x.
y = x2, y = và y = 
Bài 3. Cho hàm số . Gọi (C) là phần đồ thị của hàm số ứng với x > 0. A và B là các điểm trên (C) có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
Viết phương trình Parabol đi qua O, A và B.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Parabol.
Bài 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi hai Parabol y2 = 2x và x2 = 2y.
Tính diện tích hình phẳng.
Tính VOx và VOy.
Bài 5.
Viết phương trình chính tắc của (E) biết tiêu cự bằng 8, tâm sai bằng 4/5.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (E) ở câu a) và các tiếp tuyến của (E) biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; )
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 – 4x + 5 và các tiếp tuyến của nó kẻ từ điểm A( ; -1).
Bài 7. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y2 – 2y + x = 0 và x + y = 0.
Tính diện tích của D.
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = 2x2 và 2x – y + 4 = 0.
Tính diện tích của D.
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 9. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = x2 – 2x và y = -x2 + 4x.
Tính diện tích của D.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y = x2 (x > 0), y = -3x +10, y = 1.
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bg.
a) (đvtt)
b) (đvtt)
O
1
2
3
x
1
4
y
BÀI 8
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRÒN XOAY
I. Mục tiêu bài dạy
HS nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân
HS nắm vững công thức tính diện tích, thể tích
HS giải thành thạo các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b
được cho bởi công thức sau S = 
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y), y = a và y = b
được cho bởi công thức sau S =
B. Bài tập
Bài 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi và .
Tính diện tích của D.
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 12. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (P): y = 2x – x2 và trục Ox.
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
O
y
x
A
1
2
-1
B
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bg.
a) (đvtt)
b) y = 2x – x2 Û
Þ cung OA có pt: 
 cung AB có pt: 
 (đvtt)
Bài 13. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = |x2 – 4x + 3| và y = x + 3.
Tính diện tích của D.
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bg.
a) S = 109/6 (đvdt)
y
-3
3
O
-1
1
2
3
5
x
8
Bài 14. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = x2 và x = -y2.
Tính diện tích của D.
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 15. Cho hình tròn tâm I(2 ; 0) bán kính R = 1. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình tròn khi quay xung quanh:
Ox
Oy
Bài 16. Cho Hình phẳng D giới hạn bởi (E): .
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 17. Cho hình phẳng D giới hạn bởi (P): y2 = 2x và (C): x2 + y2 = 8.
y
x
O
2
2
-2
S1
S2
(P) chia đường tròn thành hai phần, tính diện tích mỗi phần.
 (đvdt)
Ta có: (đvdt)
O
1
7
y
x
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 (đvdt)
Bài 19. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (P1): y = x2; (P2): ; (H): 
Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
O
3
6
9
x
(H)
P1
P2
y
9
9/2
3
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bg.
HD cách vẽ (H)
(P1) Ç (H) = A(3;9); (P2) Ç (H) = B(9;3)
(P1) Ç (P2) = O(0;0)
 (đvtt)
 (đvtt)
BTVN.
Bài 20. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = sin|x| và y = |x| - p.
Tính diện tích của D.
Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: