Một số bài toán cực trị trong không gian Oxyz

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán theo chương trình Chuẩn & Nâng Cao)
Môn Toán lớp 12
 -------------------------
Bài toán 1.
Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A( 1; 4; 2) ; B( -1; 2; 4), mặt phẳng (P):x+y-z+6=0 và đường thẳng .
	1/ Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.
	2/ Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.
Lời giài đề nghị
1/ M thuộc (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất:
	Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi 
(MA+MB) nhỏ nhất.
	P(A)=1+4-2+6=9 > 0 và P(B)= -1+2-4+6=3 > 0 nên A và B nằm một bên mặt phẳng (P); do
đó điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng (A’B) và mặt phẳng (P) ; với A’ là điểm đối xứng của A qua (P).
	Thật vậy , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N bất kỳ trên (P) thì 
NA+NB= NA’+NB A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy ra khi N (đpcm).
 Giải:
	Phương trình của đương thẳng AA’: 
	Hình chiếu vuông góc H của M trên (P) là giao điểm của AA’ và (P) : H(-2;1;5).
	H là trung điểm của AA’ nên: A’(-5;4;8).
	Phương trình đường thẳng A’B:
	Điểm M là giao điểm của đường thẳng A’B và (P) : M(-3;3;6).
 Đáp số : M(-3;3;6)
 Ghi Chú: Bài toán vô nghiệm nếu A và B nằm hai bên mặt phẳng (P)
2/ Tìm M thuộc d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.
	Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi 
(MA+MB) nhỏ nhất
	Phương trình tham số của d: . Đặt M(1-t;-2+t;2t) 
	Ta được: 
	Vậy (MA+MB) nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
	Ta tìm giá trị nhỏ nhất của f(t).
	Trong mặt phẳng Oxy, chọn điểm ba :.
	Ta có f(t)= M’A’ + M’B’ nên f(t) nhỏ nhất khi và chỉ khi (M’A’+M’B’)nhỏ nhất, điều nầy xãy ra khi ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay ( do M’ thay đổi trên Ox còn A’ và B’ nằm hai bên Ox) . Điều kiện cùng phương của hai véctơ cho .
Đáp Số : .
Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M bằng phương pháp hình học sau: gïọi A1 và B1 lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của A và B trên d. Điểm M cần tìm sẽ là điểm chia đoạn thẳng A1B1 theo tỉ số:
. Ta tìm được : ( Ta có thể chứng minh cách
dựng điểm M như thế là thoả đề bài từ bài toán dựng hình đơn giản trong không gian)
	 2/ Phương pháp hình học trên cho thấy : đặc biệt , nếu (AB) song song với d thì điểm M cần tìm là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Hết bài toán 1
Một số bài toán cực trị khác trong không gian Oxyz:
Bài toán 2: Cho hai điểm A ; B và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M để :
 a) (MA2+MB2) nhỏ nhất. b) nhỏ nhất c) Tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. 
Bài toán 3: Cho điểm A và đường thẳng d. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d có d(M,d) lớn nhất (Đề thi Đại Học Khối A năm 2008).
 Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất.
 Bài toán 5 : Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất.
 Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhát.
Hết