Luyện thi Đại học môn Toán - Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: 
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)+C
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số)
ax + C
sinx
-cosx + C
sin(ax+b)
cosx
Sinx + C
cos(ax+b)
tgx + C
-cotgx + C
tgx
cotgx
Phương pháp 1:
Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản 
Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
	 1. 2. 
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.	 2.	3.
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 	 thì:
 ( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : 
Tính chất 2: 
Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên thì: 
Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên và thì 
Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên và thì
Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên và thì
Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên thì
Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và k là một hằng số thì
Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và c là một hằng số thì
Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : 
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 	 9) 10) 11) 12). 
13) 14) 15) 16) 17) 18) 
Bài 2: 
1) 	2) 3) 4) 
5) 6) 	 7) 8) 
Bài 3: 
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện
	 và 
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
	1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1: 
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Đổi cận : 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
	 (tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1) 	 2) 	 3)	 4)
5) 6) 7) 	 8) 
9) 10) 11) 12) 
13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 
	2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = 
Công thức đổi biến số dạng 2: 
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Đổi cận : 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
	 (tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1) 	 2) 	 3) 	 4)
5) 6) 7) 	 8) 	
9) 	 10) 11) 12) 
13) 14) 15) 16) 
17) 18) 
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần: 
	Hay: 
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : 
 Bước 3: Tính và 
Tính các tích phân sau:
 1) 	 2) 	 3) 	
 4) 	 5) 6) 	
 7) 	 8) 	 9) 	
 10) 	 11) 12) 
 13) 14) 15) 
 16) 17) 18) 
 19) 20) 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 
	2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
	a) 
	b) 
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 
4) 5) 6) 
7) 8) 
Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì ; 
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 
1) 2) 3) 
IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
 Công thức: 
Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1): 	2) (H2) : 	3) (H3):
4) (H4):	5) (H5):	6) (H6):
7) (H7):	 8) (H8) : 	9) (H9): 
10) (H10): 11) 	 12) 
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
 Công thức:
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
	a) Trục Ox
	b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : .
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
------------------------------Hết-------------------------------