Luyện thi đại học - Bài 6: Đạo hàm và ứng dụng

Bài 6. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp.
Đạo hàm cấp cao.
1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đoán công thức tổng quát;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.
* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = .
a) Tính y’, y’’, y’’’
b) Chứng minh rằng: .
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y = ;	b) y = .
2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) "x ẻ (a; b) ta đặt 
j(x) = f(x) - g(x).
+ Xét xự biến thiên của hàm y = j(x) trên (a; b).
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng j(x) > 0, "x ẻ(a; b).
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số j(x) để có điều cần chứng minh.
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x - , x > 0.
b) .
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +với x > 0.
Có 
ị f(x) > f(0) = 0 với "x > 0 ị đpcm.
b) Đặt f(x) = với .
Có .
Đặt g(x) = xcosx - sinx.
g’(x) = -xsinx < 0 với ị g(x) là hàm NB trên ị g(x) < g(0) với .
ị f’(x) là hàm số NB trên 
ị f(x) > f() = , .
Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:
a) ex > x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với x > 0.
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1;
d) cosx ³ 1 - với x > 0; e) sinx ³ x - với x>0;
3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.
.
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bước:
+ Bước 1: Đưa giới hạn cần tính về đúng công thức:
+ Bước 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x0), f’(x) và f’(x0).
+ Bước 3: Kết luận .
Chú ý: Một số trường hợp ta phải biến đổi về dạng:
.
Ví dụ. Tính các giới hạn:
a) ;
HD: Đặt f(x) = thì giới hạn có dạng: . Do đó:
.
Có ; f’(0) = 
Vậy .
b) ; ĐS: 
c) ; ĐS: 
d) ; ĐS: .
HD: .
e) ; f) ;
4. ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN
* Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu thì đó là GTNN.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực đại thì đó là GTLN.
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.
PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x1, x2, x3, .... của f(x) trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên rồi kết luận.
M = , m = 
* Bài toán 3: Xác định tham số để các phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm.
+ F(x) = m Û m ẻ [MaxF(X); minF(x)]
+ F(x) > m với mọi x . . m < minF(x)
+ F(x) > m có nghiệm . . m<MaxF(x) . . . 
Chú ‏‎ ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới có thể sử dụng phương pháp miền giá trị.
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-1;2].
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn [1;e3]. 
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-1;1] . 
Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
HD Đặt t= Từ miền xác đinh của x suy ra .
Biến đổi thành f(t) = t2 + t > m + 2.
Tìm miền giá trị của VT m < -6.
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phương trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]
	HD Đặt t = x2 + x dùng miền giá trị suy ra a = -1.
Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 
	HD: m ³ 2.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x 
 HD Đặt t = cosx BBT 0 Ê m Ê 2.
Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên [-p/2; p/2] 
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
 HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số với .
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá trị của hàm số.
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .