Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2008 - 2009 môn Toán học

Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2008-2009 
Đề chính thức
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-------------------------------------------------------------------	
Câu 1 (2,0 điểm)
 Giải bất phương trình 
Câu 2 (2,0 điểm)
 Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2,0 điểm)
 Cho hai tia Ox, Oy vuông góc với nhau tại O. Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A, B không trùng với O sao cho diện tích tam giác OAB bằng S cho trước. Kẻ OH vuông góc với AB (HAB), gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác OHA và OHB, đường thẳng O1O2 lần lượt cắt OA, OB tại I, J.
Chứng minh tam giác OIJ là tam giác cân.
Xác định vị trí các điểm A, B sao cho diện tích tam giác OIJ lớn nhất.
Câu 4 (2,0 điểm)
 Cho dãy số thỏa mãn với mọi n nguyên dương, đặt (n=1, 2, 3 ...). Tìm limyn . 
Câu 5 (2,0 điểm)
 Cho hình chóp S.ABC, từ điểm O nằm trong tam giác ABC vẽ các đường thẳng lần lượt song song với các cạnh SA, SB, SC và cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) tương ứng tại các điểm D, E, F. 
 1) Chứng minh rằng .
 2) Xác định vị trí của điểm O để thể tích của hình chóp O.DEF đạt giá trị lớn nhất.
 --------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .................................................................. SBD: ..........................
	Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2008-2009 
Đề chính thức
Môn thi: Toán
-------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn chấm
Nội dung
Điểm
Câu 1 (2,0 điểm)
Giải bất phương trình 
+ ĐK : 
0,5
+ Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x =3.
0,5
+ Lập bảng xét dấu (hoặc dùng phương pháp khoảng) cho tập nghiệm của BPT 
0,5
đã cho là : .
0,5
Câu 2 (2,0 điểm)
 Hệ phương trình đa cho tương đương với 
 (1)
Nhân 2 phương trình với nhau theo từng vế ta được:
0,75
0,50
+ Với x = 0, thay vào hệ (1) không thỏa mãn.
0,25
+ Với x = 3y, thay vào hệ (1) được nghiệm và 
0,25
+ Với x = –4y, thay vào hệ (1) được nghiệm và 
0,25
Câu 3 (1,5 điểm)
1. (1,0 điểm) 
Ta có do các tam giác AHO và OHB đồng dạng nên các tam giác OO1H và BO2H cũng đồng dạng suy ra (1)
0,5
Từ (1) suy ra nếu thực hiện liên tiếp 2 phép biến hình gồm phép và 
với khi đó và đường thẳng OB biến thành đường thẳng O1O2, do đó góc giữa OB và O1O2 là 450, suy ra tam giác OIJ là tam giác vuông cân.
0,5
2. (1,0 điểm) 
Vì tam giác OIJ là tam giác vuông cân nên , từ đây suy ra , suy ra OI = OH.
0,5
Do đó :
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi OA = OB tức là tam giác OAB là tam giác vuông cân.
0,5
Câu 4 (2,0 điểm)
Từ giả thiết
Hay 
0,5
Từ đây suy ra suy ra .
Từ đó 
 =. (1)
0,5
Từ giả thiết suy ra là dãy các số dương và 
, từ đây suy ra là dãy tăng và . (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
1,0
Câu 5 (1,0 điểm)
0,25
1. (1,0 điểm)
Chứng minh rằng .
Ta có ; ; (1)
0,5
Ta chứng minh: (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
0,5
2. (1,0 điểm)
Gọi K là hình chiếu của F trên mp(ODE) và H là hình chiếu của C trên mp(SAB), ta có (3) 
Lại do SA//OD , SB//OE và SC//OF nên:
; (4)
Từ (3) và (4) ta được (*)
0,50
Từ đó: 
Hay , dấu đ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , tức là O là trọng tâm tam giác ABC.
Vậy , khi O là trọng tâm tam giác ABC.
0,50
–––––––––––Hết–––––––––