Khóa luận Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác

Mục lục
1
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Lời mở đầu
Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một
trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này
khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc
giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng
giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả
giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời
sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề
của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán.
Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm,
người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học
sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những
sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng
dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng
dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh
hoạt để tự giải được các bài tập Toán.
Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài
giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số
bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung
học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề
cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến
phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất
thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với
phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những
kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài.
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác
Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng
cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài
giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện
tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác.
Bài giảng số 2: Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin
Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được
sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này
ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và
một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta
biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức
Brahmagupta’s.
Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giác
Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh
trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân
chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ
thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác
Bài giảng số 4: Tổng và tích hữu hạn các hàm lượng giác
Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức
lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng
giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng
giác hơn nữa
Bài giảng số 5:Ứng dụng lượng giác
Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5
xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác.
Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá
nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 3 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.
Hà Nội, ngày 19/5/2007
Sinh viên :Nguyễn Thị Thu
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 4 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1:
Biến đổi lượng giác
Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận
dụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biến
đổi cơ bản. Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để học
sinh luyện tập tốt các công thức lượng giác. Sự luyện tập này rất cần thiết
để học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trong
các bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập:
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
§2:Công thức cộng cung
§3: Hàm số lượng giác của những góc bội
§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
§5: Sử dụng định lý Viet bậc 3
Bài tập
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 5 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
1) sin2α + cos2 α = 1 ∀α
2) 1 + tg2α =
1
cos2 α
3) 1 + cotg2α =
1
sin2 α
Bài toán 1.1
Biết sinα + cosα = m. Hãy tính theo m các biểu thức sau:
1) A = sin3 α + cos3 α
2) B = sin7 α + cos7 α
Bài giải
1)
A = sin3α + cos3 α
Từ giả thiết suy ra: m2 = (sinα + cosα)2 = 1 + 2 sinα. cosα
⇒ sinα. cosα = m
2 − 1
2
Ta có A = (sinα + cosα)3 − 3 sinα. cos α(sin2 α + cos2α)
⇒ A = m2 − 3(m
2 − 1
2
)
2)
B = sin7 α + cos7 α
⇒ B = (sin3α + cos3 α)(sin4 α + cos4 α) − sin3 α. cos3 α(sinα + cosα)
Ta có sin4 α+ cos4α = (sin2 α + cos2 α)2 − 2 sin2 α. cos2 α
= 1− 2 sin2 α. cos2 α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 6 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
= 1− 1
2
(m2 − 1)2
Vậy B = [m3 − 3(m
2 − 1
2
)].[1 − 1
2
(m2 − 1)2]−m.(m
2 − 1
2
)3
*Chú ý: ∀k ∈ Z+ sink α + cosk α đều có thể tính theo m.
Bài toán 1.2 Biết rằng (sinα + cosα) hữu tỉ.
Chứng minh rằng ∀n ∈ Z+ sinn α + cosn α cũng là hữu tỉ
Bài giải
Chứng minh quy nạp
Với n=1: (sinα + cosα) hữu tỉ.
Với n=2: (sin2α + cos2 α) = 1 hữu tỉ.
Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến n ∈ Z+ nghĩa là: sinn α+cosn α
là hữu tỉ.
Ta chứng minh sinn+1 α + cosn+1 α là hữu tỉ.
Thật vậy, ta có:
sinn+1 α + cosn+1 = (sinn α + cosn)(sinα + cosα)−
− sinα. cosα(sinn−1 α + cosn−1 α)
Theo giả thiết quy nạp:
(sinα + cosα); (sinn−1 α+ cosn−1); (sinn α + cosn) là các số hữu tỷ
Mà sinα. cosα =
(sinα + cosα)2 − 1
2
⇒ sinα. cosα là số hữu tỷ
Suy ra sinn+1 α + cosn+1 là số hữu tỷ ⇒Đpcm
Vậy sinn α + cosn α là số hữu tỉ.
Bài toán 1.3 Biết sinα − cosα = 1. Hãy tính
A = sin3α + cos4 α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 7 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giải
Từ giả thiết: sinα − cosα = 1 bình phương hai vế ta được:
sinα. cosα = 0
⇔
[
cosα = 0 ⇒ sinα = 1⇒ sin3 α + cos4 α = 1
sinα = 0⇒ cosα = −1⇒ sin3 α + cos4 α = 1
Vậy A=1
Bài toán 1.4 Biết 3 sin4 α+ 5 cos4 α = 5. Hãy tính giá trị của
B = 5 sin4α + 3 cos4α
Bài giải
Từ giả thiết: 3 sin4α + 5 cos4 α = 5
⇒ 3 sin4 α + 5(1− sin2 α)2 = 5
⇒ 3 sin4 α + 5 + 5 sin4 α − 10 sin2α − 5 = 0
⇒ 8 sin4 α − 10 sin2 α = 0⇒ sin2 α(4 sin2α − 5) = 0
⇔
 sin2 α = 54 > 1(loi)
sin2 α = 0 ⇒ cos2 α = 1⇒ 5 sin4 α + 3 cos4α = 5.0 + 3.1 = 3
Vậy B=3
Bài toán 1.5 Biết
1
cos x
− tgx = 2. Hãy tính giá trị của
C =
1
cos x
+ tgx
Bài giải
Ta có 1 + tg2α =
1
cos2α
⇔ 1
cos2 α
− tg2α = 1
⇔ ( 1
cosα
− tgα)( 1
cosα
+ tgα) = 1
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 8 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔ ( 1
cosα
+ tgα) =
1
(
1
cosα
− tgα)
=
1
2
Bài toán 1.6 Ký hiệu fk(x) =
1
k
(sink x + cosk x). Chứng minh
rằng:
f4(x)− f6(x) = 1
12
∀x
Bài giải
Ta có:
f4(x) =
1
4
(sin4 x+ cos4 x) =
1
4
[(sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x]
⇒ f4(x) = 1
4
(1 − 1
2
sin2 2x) =
1
4
− 1
8
sin22x
f6(x) =
1
6
(sin6 x+ cos6 x)
=
1
6
[(sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)]
⇒ f6(x) = 1
6
(1 − 3 sin2 x cos2 x) = 1
6
− 1
8
sin22x
⇒ f4(x)− f6(x) = 1
12
∀x
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 9 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§2: Công thức cộng cung
1) cos(a+ b) = cos a cos b− sina sin b
2) cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b
3) sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a
4) sin(a− b) = sin a cos b− sin b cos a
5) tg(a+ b) =
tga+ tgb
1− tgatgb
6) tg(a− b) = tga− tgb
1 + tgatgb
7) cotg(a+ b) =
cotga.cotgb − 1
cotga + cotgb
8) cotg(a− b) = cotga.cotgb + 1
cotgb − cotga
Bài toán 1.7 Tính giá trị của
1) cos
pi
12
2) tg
pi
8
Bài giải
1) Ta có: cos
pi
12
= cos(
pi
4
− pi
6
) = cos
pi
4
cos
pi
6
+ sin
pi
4
sin
pi
6
=
√
6 +
√
2
4
2) Ta có: tg
pi
8
= tg(
pi
4
− pi
8
) =
tg
pi
4
− tgpi
8
1 + tg
pi
4
tg
pi
8
=
1 − tgpi
8
1 + tg
pi
8
⇔ 1− tgpi
8
= tg
pi
8
+ tg2
pi
8
⇔ tg2pi
8
+ 2tg
pi
8
− 1 = 0
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 10 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔ (tgpi
8
+ 1)2 − 2 = 0⇔ (tgpi
8
+ 1 −
√
2)(tg
pi
8
+ 1 +
√
2) = 0
⇔ tgpi
8
=
√
2 − 1 hoặc tgpi
8
= −√2 − 1 (loại vì tgpi
8
> 0 )
Vậy tg
pi
8
=
√
2− 1
Bài toán 1.8 Biết rằng:sin a+ 7 sin b = 4(sin c+ 2 sin d)cos a+ 7 cos b = 4(cos c + 2 cos d)
Chứng minh rằng: 2 cos(a− d) = 7 cos(b− c)
Bài giải
Giả thiết suy ra: sin a− 8 sin d = 4 sin c− 7 sin b)cos a− 8 cos d = 4 cos c − 7 cos b)
Bình phương các đẳng thức trên và cộng lại ta được:
1 + 64 − 16 cos(a− d) = 16 + 49 − 56 cos(b− c)
⇔ 2 cos(a− d) = 7 cos(b− c)
Bài toán 1.9 Biết rằng tg(a+ b) =
√
5
tg(a− b) = √3
Hãy tính tg2a và tg2b ?
Bài giải
Ta có:
tg2a = tg[(a+ b) + (a− b)] = tg(a+ b) + tg(a− b)
1− tg(a+ b)tg(a− b) =
√
5 +
√
3
1−√15
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 11 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
tg2b = tg[(a+ b)− (a− b)] = tg(a+ b)− tg(a− b)
1 + tg(a+ b)tg(a− b) =
√
5−√3
1 +
√
15
Bài toán 1.10 Chứng minh tg10 là số vô tỷ
Bài giải
Giả sử phản chứng: tg10 là số hữu tỷ
Áp dụng công thức:
tg2α =
2tgα
1− tg2α ta suy ra
tg20, tg40, tg80, tg160, tg320 là số hữu tỷ.
Mặt khác ta có:
tg320 = tg(300 + 20) =
tg300 + tg20
1 − tg300tg20 =
1√
3
+ tg20
1 − 1√
3
.tg20
là số vô tỷ
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết tg320 là số hữu tỷ
Suy ra giả thiết phản chứng là sai
Vậy tg10 là số vô tỷ
Bài toán 1.11 M ABC có tgA,tgB,tgC là các số nguyên dương. Hãy
tính tgA,tgB,tgC
Bài giải
Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ A ≤ 600 ⇒ 0 < tgA ≤ √3
⇒ tgA = 1⇒ A = 450
⇒ B + C = 1350 ⇒ −1 = tg(B + C) = tgB + tgC
1− tgBtgC
⇒ (tgB − 1)(tgC − 1) = 2
⇒ tgB = 2, tgC = 3
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 12 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài toán 1.12 Biết
cos x+ cos y + cos z
cos(x+ y + z)
=
sin x+ sin y + sin z
sin(x+ y + z)
= a
Chứng minh rằng:
cos(x+ y) + co ... sin2 pi
7
+ sin2
2pi
7
+ sin2
3pi
7
=
7
4
Ta có:
sin2
pi
7
+ sin2
2pi
7
+ sin2
3pi
7
=
1− cos 2pi
7
2
+
1 − cos 4pi
7
2
+
1 − cos 6pi
7
2
=
3
2
− 1
2
(
cos
2pi
7
+ cos
4pi
7
+ cos
6pi
7
)
=
3
2
− 1
2
(
cos
2pi
7
− cos 3pi
7
− cos pi
7
)
=
3
2
+
1
2
(
cos
pi
7
− cos 2pi
7
+ cos
3pi
7
)
=
3
2
+
1
2
=
7
4
Vậy A1A
2
3 +A1A
2
7 +A3A
2
7 = 7R
2
Bài toán 5.12 Chứng minh từ 4 số dương, có thể chọn ra 2 số x,y sao
cho:
0 ≤ x − y
1 + x+ y + 2xy
≤ 2−
√
3
Bài giải
Đặt
z1 = 1 +
1
x
. Do x > 0⇒ z1 > 0
z2 = 1 +
1
y
. Do y > 0⇒ z2 > 0
Đặt
z1 = tgx
′ ;
pi
4
< x′ <
pi
2
z2 = tgy
′ ;
pi
4
< y′ <
pi
2
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 136 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Suy ra trong khoảng (
pi
4
,
pi
2
) có 4 số và luôn tồn tại 2 số x’,y’ sao cho:
0 ≤ y′ − x′ < 1
3
(
pi
2
− pi
4
) =
pi
12
⇒ 0 ≤ tg(y′ − x′) < tan pi
12
= 2 −
√
3
⇒ 0 ≤ tgy
′ − tgx′
1 + tgx′.tgy′
< 2 −
√
3
⇒ 0 ≤ z2 − z1
1 + z1.z2
< 2−
√
3
⇒ 0 ≤
1 +
1
y
− 1 − 1
x
1 + (1 +
1
x
) + (1 +
1
y
)
< 2 −
√
3
⇒ 0 ≤ x − y
1 + x+ y + 2xy
< 2 −
√
3
⇒ Đpcm
Bài toán 5.13 Cho a1, a2, ..., a13 là 13 số thực đôi một khác nhau. Chứng
minh rằng tồn tại 2 số ai, aj 1 ≤ i, j ≤ 13 sao cho:
0 <
aj − ai
1 + ajai
< 2 −
√
3
Bài giải
Không giảm tổng quát, ta giả sử: a1 < a2 < a3... < a13.
Đặt ai = tgαi, khi đó −pi
2
< αi <
pi
2
với i=1,2,...13. Từ giả thiết, ta
có:
−pi
2
< α1 < α2 < ... < α13 <
pi
2
Xét đoạn [α1, α1 + pi có độ dài pi. Đoạn này được chia thành 13 đoạn
nhỏ bởi các điểm chia α2, α3, ..., α13. Vậy tồn tại ít nhất một đoạn có độ
dài ≤ pi
13
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 137 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Có hai khả năng xảy ra:
1) Nếu 0 < αi+1 − αi ≤ pi
13
với 1 ≤ i ≤ 12
⇒ 0 < tg(αi+1 − αi) ≤ tg pi
13
< tg
pi
12
Vì tg
pi
12
= 2 −√3⇒ 0 < ai+1 − ai
1 + ai+1ai
< 2 −√3
Khi đó ta chọn: aj = ai + 1⇒(đpcm)
2) Nếu 0 < (α1 + pi) − α13 ≤ pi
13
⇒ 0 < tg((α1 + pi)− α13) ≤ tg pi
13
⇔ 0 < tg(α1 − α13) ≤ tg pi
12
⇔ 0 < a1 − a13
1 + a1a13
< 2 −
√
3
Khi đó ta chọn: aj = a1, ai = a13 ⇒(đpcm)
Vậy luôn tồn tại 2 số ai, aj 1 ≤ i, j ≤ 13 sao cho:
0 <
aj − ai
1 + ajai
< 2 −
√
3
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 138 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài tập
Bài tập 5.1 Cho phương trình:
8x.(2x2 − 1)(8x4 − 8x2 + 1) = 1
Có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn (0,1)
Bài tập 5.2 Giải phương trình sau:
2 +
x√
1 − x2 = 2x
2
Bài tập 5.3 Giải phương trình:
2x + (4x2 − 1)
√
1 − x2 = 4x3 +
√
1− x2
Bàitập 5.4 Giải phương trình:√
1 − x2 = x
3 − 2x2 + 1
x2 − 1
Bài tập 5.5 Cho x, y, z ∈ (0, 1). Chứng minh rằng√
1 − x2 +
√
1− y2 +
√
1 − z2 ≤ 3
√
3
2
Bài tập 5.6 Cho x, y, z ∈ (0, 1) và xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:
x
1 − x2 +
y
1− y2 +
z
1− z2 ≥
3
√
3
2
Bài toán 5.7 Tìm tất cả các bộ ba số x, y, z ∈ (0, 1) thỏa mãn :
x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1
Bài toán 5.8 Cho a,b,c là những số dương. Tìm tất cả các số thực dương
x,y,z sao cho:
x + y + z + a + b+ c
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 139 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
4xyz − (a2x + b2y + c2z) = abc
Bài tập 5.9 Cho x và y không đồng nhất bằng 0. Chứng minh rằng:
−2
√
2 − 2 ≤ x
2 − (x − 4y)2
x2 + 4y2
≤ 2
√
2− 2
Bài tập 5.10 Giải hệ phương trình:
(1 + x2 + x2y + y)2 = 8(x2 + x2y)
(1 + y2 + y2z + z)2 = 8(y2 + y2z)
(1 + z2 + z2x + x)2 = 8(z2 + z2x)
Bài tập 5.11 Giải hệ phương trình:
x3 − 3x = y(1− 3x2)
y3 − 3y = z(1− 3y2)
z3 − 3z = x(1 − 3z2)
Bài tập 5.12 Với mỗi số thực x, xác định dãy {xn} như sau:
x1 = x ; xn+1 =
1
1− xn −
1
1 + xn
∀x
Nếu xn = ±1 thì dãy kết thúc. Hỏi có bao nhiêu dãy kết thúc sau số hạng
thứ tám ?
Bài tập 5.13 Cho bảy giác đều A1A2..A7 Chứng minh rằng:
1
A1A2
=
1
A1A3
+
1
A1A4
Bài tập 5.14 Cho a, b, c ∈ R và khác ±1 sao cho: a+ b+ c = abc
Chứng minh rằng:
a2
1 − a2 +
b2
1− b2 +
c2
1 − c2 =
4abc
(1− a2)(1− b2)(1− c2)
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 140 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài tập 5.15 Cho MABC nhọn với diện tích S. Chứng minh rằng:√
a2b2 − 4S2 +
√
b2c2 − 4S2 +
√
c2a2 − 4S2 = a
2 + b2 + c2
2
Lời giải
Bài tập 5.1 Đặt x = cosα, x ∈ (0, 1)⇒ α ∈ (0, pi
2
). Ta có:
2x2 − 1 = 2 cos2−1 = cos 2α
8x4 − 8x2 + 1 = 8x2(x2 − 1) + 1 = 8 cos2 α(cos2 α− 1) + 1
⇒ 8x4 − 8x2 + 1 = 1− 8 cos2 α sin2 α = 1 − 2 sin2 2α
Phương trình tương đương với
8 cosα. cos 2α.(1 − 2 sin2 2α) = 1
⇔ 8 cosα. cos 2α. cos 4α = 1
⇔ 8
sinα
. sinα cosα. cos 2α. cos 4α = 1
⇔ sin 8α
sinα
= 1⇔ sin 8α = sinα
⇔ α = kpi
7
(∀k ∈ Z)
Do α ∈ (0, pi
2
)⇒ k = 0, 1, 2,
Vậy PT có 3 nghiệm PT là: x1 = cos 0; x2 = cos
2pi
7
; x2 = cos
3pi
7
Bài tập 5.2 Điều kiện: |x| ≤ 1. Đặt x = cosα, α ∈ (0, pi)
Phương trình tương đương với
1 + cotα = cos2α
⇔ (sinα+ cosα)(cosα − sinα− 1
sinα
) = 0
⇔ (sinα+ cosα)(sin2α+ cos2α − 3) = 0
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 141 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔ sinα+ cosα = 0⇔ tanα = −1⇔ α = −pi
4
+ kpi (∀k ∈ Z)
Trong khoảng (0, pi) ta được α =
3pi
4
Vậy nghiệm của PT là: x = cos
3pi
4
Bài tập 5.3 Đặt x = cosα, α ∈ (0, pi). Ta có: √1− x2 = sinα.
Thay vào phương trình ta được:
2 cosα + (4 cos2 α − 1) sinα = 4 cos3 α + sinα
⇔ 3 cosα − 4 cos3 α + (3− 4 sin2 α) sinα = sinα + cosα
⇔ sin 3α − cos 3α = sinα + cosα
⇔ 3(sinα + cosα) − 4(sin3α + cos3 α) = sinα + cosα
⇔ 3(sinα + cosα) − 2(sinα + cosα)(2 − sin 2α) = 0
⇔ (sinα + cosα)(2 sin 2α − 2) = 0
⇔ (sinα + cosα) = 0⇔ sin(α+ pi
4
) = 0⇔ α = −pi
4
+ kpi (∀k ∈ Z)
hoặc sin 2α = 1⇔ 2α = pi
2
+ 2kpi ⇔ α = pi
4
+ kpi (∀k ∈ Z)
Vì α ∈ (0, pi) suy ra α = pi
4
Vậy nghiệm của phương trình là: x = cos
pi
4
=
√
2
2
Bài tập 5.5 Đặt
x = cosA; y = cosB; z = cosC
Do x, y, z ∈ (0, 1) ⇒ A,B,C ∈ (0, pi
2
) ⇒ A,B,C là 3 góc của tam
giác nhọn
BĐT ⇔ chứng minh
sinA+ sinB + sinC ≤ 3
√
3
2
(hiển nhiên đúng)
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 142 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Dấu bằng xảy ra ⇔M ABC đều, khi đó:x = y = z = 1
2
Bài tập 5.6 Đặt x = tgA ; y = tgB ; z = tgC ; A,B,C ∈
(0,
pi
4
)
Ta có: xy + yz + zx = 1. ⇒ tgAtgB + tgBtgC + tgCtgA = 1
⇔ tgB(tgA + tgC) = 1− tgAtgC
+ Nếu tgAtgC = 1⇒ tgB(tgA + tgC) = 0
⇔

tgAtgC = 1tgA+ tgC = 0 ⇔ @A,CtgAtgC = 1tgB = 0 ⇒ B = 0⇔ @B
+ Nếu tgAtgC 6= 1, ta có:
tgB(tgA + tgC))
1 − tgAtgC = 1⇔ tgBtg(A + C) = 1
⇔ cos(A+B + C) = 0⇔ A+B + C = pi
2
+ kpi, (∀k ∈ Z)
Vì A,B,C ∈ (0, pi
4
) ⇒ A+B + C = pi
2
Suy ra: 2A + 2B + 2C = pi ⇒ 2A, 2B, 2C là 3 góc của tam giác nhọn
BĐT ⇔ chứng minh
tgA
1 − tg2A +
tgB
1− tg2B +
tgC
1− tg2C ≥
3
√
3
2
⇔ 2tgA
1− tg2A +
2tgB
1 − tg2B +
2tgC
1 − tg2C ≥ 3
√
3
⇔ tg2A + tg2B + tg2C ≥ 3
√
3
Hiển nhiên đúng trong tam giác nhọn với các góc 2A,2B,2C
Dấu bằng xảy ra ⇔ tg2A = tg2B = tg2C ⇔ A = B = C = pi
6
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 143 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Khi đó x = y = z =
1√
3
Bài tập 5.11 Ta kiểm tra được x = ± 1√
3
, y = ± 1√
3
, z = ± 1√
3
không là nghiệm của hệ phương trình.
Hệ phương trình tương đương
y =
x3 − 3x
1− 3x2
z =
y3 − 3y
1− 3y2
x =
z3 − 3z
1 − 3z2
Đặt x = tgα, α ∈ (−pi
2
,
pi
2
). Ta có
y =
x3 − 3x
1− 3x2 =
tg3α − 3tgα
1− 3tg2α = tg3α
Tương tự
z = tg9α ; x = tg27α
Vậy
tgα = tg27α⇔ α = kpi
26
(∀k ∈ Z)
Do α ∈ (−pi
2
,
pi
2
). Suy ra k = 0,±1,±2,±3,±4, ....,±11,±12
Thay α =
kpi
26
với k = 0,±1,±2,±3,±4, ....,±11,±12 vào các công
thức
x = tgα ; y = tg3α ; z = tg9α
Ta thu được 25 nghiệm của hệ phương trình
Bài tập 5.14 Đặt a = tgA; b = tgB; c = tgC.
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 144 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
với A,B,C 6= pi
2
+ npi (n ∈ Z)
Ta chứng minh bổ đề sau:
tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC ⇔ A+B + C = kpi (k ∈ Z)
Chứng minh
Ta có:
tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
⇔ tgA + tgB + tgC(1− tgAtgB) = 0
⇔

tgA.tgB = 1tgA + tgB = 0
tgA+ tgB
1− tgAtgB + tgC = 0
⇔

cos(A+B) = 0sin(A+B) = 0 ⇔ @A,B
sin(A+B + C) = 0⇔ A+B +C = kpi(k ∈ Z)
Vậy tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC ⇔ A+B + C = kpi (k ∈ Z)
Đẳng thức trên được viết lại là:
tgA
1 − tg2A +
tgB
1− tg2B +
tgC
1− tg2C =
4tgAtgBtgC
(1− tg2A)(1− tg2B)(1 − tg2C)
⇔ 2tgA
1− tg2A +
2tgB
1− tg2B +
2tgC
1− tg2C =
8tgAtgBtgC
(1 − tg2A)(1− tg2B)(1 − tg2C)
⇔ tg2A + tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C
⇔ 2A+ 2B + 2C = 2pi luôn đúng vì k=2
Suy ra tg2A + tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C đúng ⇒ Đpcm
Bài tập 5.15
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 145 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Ta có: S =
abc
4R√
a2b2 − 4S2 +
√
b2c2 − 4S2 +
√
c2a2 − 4S2 = a
2 + b2 + c2
2
⇔
√
a2b2 − (abc)
2
4R2
+
√
b2c2 − (abc)
2
4R2
+
√
c2a2 − (abc)
2
4R2
=
a2 + b2 + c2
2
⇔ ab
2R
√
4R2 − c2 + bc
2R
√
4R2 − a2 + ca
2R
√
4R2 − b2 = a
2 + b2 + c2
2
⇔ sinA sinB
√
1 − sin2C+sinB sinC
√
1− sin2A+sinC sinA
√
1− sin2B =
=
1
2
(sin2A + sin2B + sin2C)
⇔ sinA sinB cosC+sinB sinC cosA+sinC sinA cosB = 1
2
(sin2A+sin2B+sin2C)
Ta có:
sinA sinB cosC + sinB sinC cosA = sinB(sinA cosC + sinC cosA) =
= sinB(sin(A+C))
⇒ sinA sinB cosC + sinB sinC cosA = sin2B (1)
Tương tự:
sinB sinC cosA+ sinC sinA cosB = sin2C (2)
sinC sinA cosB + sinA sinB cosC = sin2A (3)
Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta được:
sinA sinB cosC+sinB sinC cosA+sinC sinA cosB =
1
2
(sin2A+sin2B+sin2C)
⇒Đpcm
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 146 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Tài liệu tham khảo
[1]Nguyễn Vũ Lương-Phạm Văn Hùng-Nguyễn Ngọc Thắng-2005
Một số bài giảng về phương trình lượng giác,NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[2]Nguyễn Vũ Lương-Nguyễn Ngọc Thắng-2007
Một số bài giảng về các bài toán trong tam giác,NXB Đại học quốc gia Hà
Nội.
[3] Titu Andreescu Razvan Gelca
Mathematical olympiad Challenges - 2000, Birkhauser Boston.Besel.Berlin.
[4] Titu Andreescu , Zuming Feng
103 Trigonometry problems from the trainingof the USA IMO team-2004,
Birkhauser Boston.Besel.Berlin.
[5] Titu Andreescu , Zuming Feng
Mathematical Olympiads and Solutions from Around the World 1998-2004,
The Mathematical Asociation of America.
[6]Athur Engel.Stringer
Problem-Solving Strategies-1997
[7] Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 147 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48