Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

1. ðịnh nghĩa 1:
Hàm số f(x;y) ñược gọi là khả vi tại ñiểm nếu số gia toàn phần 
có thể biểu diễn ñược dưới dạng:
 (1)
trong ñó A, B là những số không phụ thuộc ∆x, ∆y; còn α, β → 0 khi ∆x, ∆y → 0
Khi ñó, ñại lượng A.∆x +B.∆y ñược gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại 
 ứng với các số gia ∆x, ∆y và ñược ký hiệu 
Ví dụ:
Xét hàm số . Ta có:
Hay:
Do ñó:
Cho nên hàm số khả vi tại và 
Nhận xét:
1. Xét , 
Cho thì . Khi ñó, áp dụng bất ñẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:
Do ñó, ε là VCB khi ρ → 0.
Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng:
 , 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn ρ.
Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
Ta ñã biết rằng khái niệm ñạo hàm riêng cho chúng ta biết ñược tốc ñộ thay ñổi của hàm số khi 
cho 1 trong các biến số thay ñổi giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay ñổi của hàm số 2 
biến khi cho cả hai biến số thay ñổi.
Xét hàm số và là ñiểm thuộc miền xác ñịnh D. Ta cho x, y thay ñổi 1 lượng 
tương ứng sao cho . Khi ñó, giá trị của hàm số sẽ thay ñổi một 
lượng:
Chứng minh:
Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có:
Vậy: 
Do ñó, hàm số liên tục tại .♦
Nhận xét:
1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tục tại thì sẽ không khả vi tại ñiểm ñó.
2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền ñó.
3. ðịnh lý 2:
Nếu f(x;y) khả vi tại thì nó có các ñạo hàm riêng tại và chúng 
tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của ñịnh nghĩa hàm số khả vi.
Chứng minh:
Thật vậy, từ công thức (1) ta cho , ta ñược:
trong ñó α →0 khi ∆x → 0.
Do ñó:
Vậy 
Hoàn toàn tương tự ta có: 
Nhận xét:
1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại thì vi phân toàn phần của hàm số tại 
ñược xác ñịnh bởi:
2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số có ñạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f
(x,y) có các ñạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó ñã khả vi tại ñiểm ñó. Ta xét 
hàm số sau:
3. Hàm số ñược gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi ñiểm thuộc D.
2. ðịnh lý 1: (ðiều kiện cần ñể hàm số khả vi)
Nếu hàm số khả vi tại thì nó liên tục tại ñiểm ñó.
2. Ta không thể dùng ñịnh nghĩa ñể xét sự khả vi của hàm số như ở ví dụ 1 ñược. 
Tổng quát, chỉ có thể áp dụng ñịnh nghĩa ñể xét sự khả vi cho những hàm số dạng ña thức, còn các 
hàm số khác thì không thể dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát sự khả vi tại 1 ñiểm. Vì vậy, ta cần phải 
tìm một công cụ khác ñể giải quyết vấn ñề này.
Tương tự ta có: nhưng hàm số G(x;y) không liên tục tại (0; 0) (xem phần giới hạn 
hàm nhiều biến) nên không khả vi tại (0;0)
4. ðịnh lý 3 (ðiều kiện ñủ ñể hàm số khả vi)
Cho hàm số f(x;y) có các ñạo hàm riêng trong một miền D chứa ñiểm . 
Nếu các ñạo hàm riêng ấy liên tục tại M thì hàm số khả vi tại ñiểm ñó.
5. Các ví dụ:
1. Cho hàm: 
Tính và . Hàm có khả vi tại (0;0) hay không?
Giải
ðể tính các ñạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng ñịnh nghĩa mà không thể thế giá trị (0;0) vào biểu 
thức ñạo hàm
Ta có:
tương tự: = = 
Mặc dù, hàm số có 2 ñạo hàm riêng tại (0;0) nhưng không khả vi tại ñiểm ñó vì hàm số ñã cho 
không liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét ñiểm (x;y) tiến về ñiểm (0;0) theo ñường thẳng y = kx ta có.
Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn tại.
Do ñó: 
Nên hàm số không liên tục tại (0;0) và do ñó nó không khả vi tại (0;0)
2. Tìm vi phân của hàm số: 
Hàm số luôn xác ñịnh và liên tục với mọi nên khả vi tại mọi ñiểm . 
Khi ñó ta có:
Theo ñịnh nghĩa ñạo hàm riêng, ta có: