Giới thiệu các đề thi về hệ phương trình Từ năm 2000 đến năm 2012

Tư liệu: Giới thiệu cỏc đề thi về hệ phương trỡnh
 Từ năm 2000 đến năm 2012
Các đề thi ĐH năm 2000
Bài 1: ĐHSP Hà Nội KA:
Giải hệ phương trình : 
Giải : Từ (2) suy ra x ≠ 0 , chia các vế cho x2 :
 Û 
Đặt ta được hệ : 
(*) Û (v-3)(v2+3v+4) = 0 Û v=3; u = 2
 . Vậy hệ có nghiệm là (1;2) hoặc 
Bài 2: ĐHSP Hà Nội K B,D:
Giải hệ phương trình : 
Giải : Đây là hệ đói xứng loại 1 , Biến đổi về dạng : 
Bài 3 : ĐHSP tp HCM-K A,B
Giải hệ phương trình : 
HD: Từ (1) và (2) ta có : 2(x2+2xy+3y2=9(2x2+2xy+y2)
 Û16x2+14xy+3y2=0 (3)
Dễ thấy x=0 không thoả mãn hệ, do đó (3) Û
 Với . Thế vào (2) ta có x2=1Û x.Từ đó hệ có hai nghiệm là : (1;-2), (-1;2)
 Với Thế vào (2) ta có x2= Từ đó hệ có hai
nghiệm là 
ĐS : hệ có 4 nghiệm là (1;-2), (-1;2), 
Bài 4 : ĐHGTVT Hà Nội 
Giải hệ phương trình : 
HD : Đây là hệ đối xứng loại 1 .
ĐS: Hệ có 4 nghiệm là : 
Bài 5 : ĐHTCKT Hà Nội
Giải hệ phương trình : 
Giải : Từ (2) :. Thay vào (1) :
Lưu ý : ; và thì phương trình trên là : 
Đặt thì phương trình thành : 2t +3t2=1Û 3t2 +2t – 1 = 0Û
. Từ đó hệ có hai nghiệm là 
Bài 6 : ĐHMĐC Hà Nội
Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình : 
HD : Từ (2) : 
Từ (1) : y =1-x-a
Hệ trở thành :
Với a=1 thì phương trình (*) có nghiệm là x=0 ị y=0. Vậy hệ có một nghiệm là (0;0)
Với a≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm ị hệ vô nghiệm
Bài 7: ĐH ngoại ngữ
Giải hệ phương trình : 
Với điều kiện ba số theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân
Giải : Từ giả thiết ta có : 
Hệ trở thành :
Bài 8: ĐH An ninh K-A
Tìm tất cả các giá trị a để hệ phương trình :
Có nghiệm .
Giải : Đểgọn ta đặt vế trái của phươngtrình (2) bằng m
Xét hệ : Các phương trình của hệ có vế trái đẳng cấp bậc hai đối với x và y.
 Từ (1) suy ra x≠ 0, ta đặt y=tx , dẫn tới hệ :
Từ (3) suy ra 1-2t-3t2> 0
Chia từng vế của (3) cho (4) ta có :
Vậy phương trình (*) phải có nghiệm thoả mãn
Gọi f(t) là vế trái của phương trình (*)
Ta xét hai trường hợp :
Trường hợp 1: có một nghiệm thoả mãn : Û 
Dễ kiểm nghiệm thấy điều kiện này không thoả mãn
Trường hợp2: có cả hai nghiệm thoả mãn : 
Bài 9: ĐHCSND-KA
Cho hệ phương trình : 
GiảI hệ với m = -3
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải : Hệ đã cho . Đặt u=x+y; v=xy thì hệ trở thành: 
Với m=-3 thì hệ trở thành : 
Với u=-2; v=1 ta có hệ :
Với u=1; v=-2 ta có hệ : 
Vậy hệ có ba nghiệm là 
Xét hệ phương trình 
Phương trình (2)Û(x+y+xy)-(x2y+xy2)=(m+2)-(m+1) Û
Û(x+y-1)(1-xy) =0 Û
Hệ đã cho tương dương với hai hệ: 
Xét hệ (A) : Hệ (A) Û . Đây là hệ đối xứng loại 1, vì thế để hệ có nghiệm duy nhất thì phải có x=y.
Với x=y thì hệ trở thành 
Xét hệ (B) : Hệ (B) Û
Với x=y thì hệ trở thành :
Thử lại ta thấy hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=1;m= 
Bài 10 : ĐH Thương Mại
Cho hệ phương trình ;
1.Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt 
2.Gọi là các nghiệm của hệ đã cho, hãy chứng minh:.
 Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải : Ta giải hệ này bằng phương pháp hình học
Hệ được viết lại là :
Phương trình (1) biểu thị một đường thẳng quay quanh một điểm A(0;1) cố định. Phương trình (2) biểu thị một đường tròn (C) tâm I , bán kính R=.
Hệ có hai nghiệm Û D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt Û
 Û 
 Với 0<a< thì và MN2R=1
 ị đpcm
Bài 11 :ĐH Thuỷ Lợi.
GiảI hệ phương trình : 
GiảI : TXĐ : x>0; y>0. Khi đó ta có :
 Û 
Chia từng vế của (1) cho (2) ta được : 
Thay (3) vào (1) ta được : 
ịy=2.
Vậy nghiệm của hệ là (1;2)
Bài 12 : ĐH Nông Nghiệp 1-KA
GiảI hệ phương trình :
GiảI : TXĐ : x≥2; y≥2. Lúc đó hệ đã choÛ
Đây là hệ đối xứng loại 2. 
Trừ từng vế hai phương trình,ta được : 
 ÛÛ x=y
 Thay kết quả này vào (3) : 
Vậy hệ có nghiệm là : x=11
Bài 13 : ĐH Dân lâp Phương Đông –KA
GiảI hệ phương trình :
GiảI : Đây là hệ phương trình có vế tráI đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn.
Đặt y=tx thì :
ới t=2 thì y=2x và phương trình (1) trở thành :12x2=12Ûx=±1
Y=±2
Với t=0,2 thì y=0,2x và phương trình (1) trở thành : 
Vậy hệ có 4nghiệm
Bài 14:ĐH Thuỷ Sản Đợt 2
Cho hệ phương trình : 
GiảI hệ phương trình với m=6
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm.
GiảI :
Đặt , thì hệ trở thành: 
với m=6 ta có hệ phương trình :
Vậy với m=6 thì hệ có hai nghiệm là :
2. Tìm m để hệ có nghiệm:
Do thì từ (4) suy ra m>0
Hệ (A) có nghiệm Û Hệ (B) có nghiệm dương
Từ (3) : v=3-u. Thay vầo (4) : (*)
Bài toán dẫn đến : Tìm m sao cho phương trình (*) có nghiệm thoả mãn :
. 
Gọi 
Ta xét hai khả năng:
a) Phương trinh(*) có một nghiệm thoả mãnđiều kiện Û Û
b) Phương trinh(*) có hai nghiệm thoả mãnđiều kiện Û
 Û 
Vậy với : thì hệ phương trình đã cho có nghiệm
Bài 15 : ĐH Dân Lập Hải Phòng-K B,D
 Giải hệ phương trình : 
Giải:Do đk:x≠ 0: y≠ 0.ịphương trình (2) Û ị Hệđã cho Với 
hoặc 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là : 
Bài 16 : ĐHQG Hà Nội K-B
 Giải hệ phương trình : 
Giải:Đây là hệ đối xứng loại 2.
 Trừ từng vế hai phương trình ta được: 
Hệ đã cho
Giải hệ (a) ta được hai nghiệm là
Giải hệ (b) ta được hai nghiệm là
ĐS: Hệ đã cho có 4 nghiệm là : ,
Các đề thi năm 2001
Bài 17: ĐHSP Hà Nội –Khối B, M, T
GiảI hệ phươngtrình : 
GiảI : Đây là hệ đói xứng loại 1.
Hệ đã cho Û 
 Với u=x+y; v=xy
Û 
Bài 18:ĐHSP Vinh Khối D, M, T
Giải hệ phương trình :
GiảI : (2) Û (*)
 (1)
Thay vào (*) ta được : x4.y5+y4.x5=0
Với x=0 thì y=1; Với y=0 thì x=1
Với y=-x thì x5+y5=0 (loại)
Vậy hệ có hai nghiệm là 
Bài 19 :ĐH Thuỷ Lợi
 Giải hệ phương trình :
Giải : Đây là hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn.
Hệ đã cho 
Xét (4) vì (2x2+2y2+3xy=
Thay y=x vào (3) ta được : x=y=1
Bài20: ĐH Nông Nghiệp 1-KA
Giải hệ phương trình :
Giải : Đặt x = ty , thì hệ đã cho 
GiảI (4) 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 
Bài 21: ĐH Thái Nguyên – Khối A, B, T
Giải hệ phương trình :
HD: Đây là hệ đối xứng loại hai đối với x, y.
ĐS : hệ đã cho có ba nghiệm là :
Bài 22 : ĐH Luật -ĐH Dược Hà Nội .
Xác định các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau đây có nghiệm
(x,y) với mọi giá trị của tham số b:
Giải : Vì hệ có nghiệm với mọi b, nên hệ có nghiệm với một giá trị nào đó của b; chẳng hạn với b=0.Lúc đó hệ trở thành : 
*Với a=1 hệ trở thành : . Hệ này không có nghiệm với mọi b,chẳng hạn với 1-2b<0. Vậy a=1 bị loại.
*Với a=-1 hệ trở thành :.
 Rõ ràng với mọi b, hệ có nghiệm x=0, y=1. 
Vậy a=-1 chấp nhận được.
Bài 23 : ĐH Ngoại Thương khối A
Giải hệ phương trình : 
Giải : Hệ đã cho 
Hệ (A) cho nghiệm x=y=
Xét hệ (B) :Từ :x6+y6=1ị 
ịHệ (B) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 
Bài 24 : ĐH Thương Mại.
Giải hệ phương trình :
Giải : Dễ thấy điều kiện cần là x≠0. Hệ đã cho 
 ( với )
Bài 25 : Học viện QHQT-Khối D
Giải hệ phương trình : 
Giải : Đặt u=x+y; v=xy
 Lưu ý : và 
Hệ đã cho
*Với u=4;v=3 ta được hoặc 
*Với u=4; v= ta được 4xy>(x+y)2 vô lý
ĐS : hệ có hai nghiệm là (1,3) ; (3,1)
Bài 26: ĐH Hàng Hải 
Giải hệ phương trình :
Giải : 
 Lưu ý ;
(Với u=x-y; v=xy) thì hệ trở thành: Û 
*Với u=0; v=0 ta có : 
*Với u=1; v=6 ta có : 
Vậy hệ đãcho có 3 nghiệm là (0,0); (3,2); (-2,-3)
Bài 27: ĐH An Ninh-Khối D
Giải hệ phương trình : 
Giải : Đặt u=x+y; v=xy thì hệ đã cho 
Với u=1;v=0 thì ta có ; hoặc 
Với u=-2; v= thì ta có ị phương trình vô nghiệm
ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là (0,1); (1,0)
Bài 28 : Học viện Quân y.
Giải hệ phương trình :
Giải : Từ (1) suy ra 
Với đk này thì hệ đã cho Û Û
Bài 29 : ĐH Dân Lập Đông Đô
Giải hệ phương trình : 
Giải : Đây là hệ đối xứng loại 2.
Cách 1 : sử dụng phương pháp đánh giá
Đk: 
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất :
Cách 2 : sử dụng phương pháp hàm
TXĐ:x,yẻ
Hệ đã cho Û 
Xét phương trình (4): 
Xét hàm số với TXĐ : 
 nghịch biến trên TXĐ
Suy ra phương trình (4)Û 
Thay y=x vào phương trình (3) : . Giải phương trình này ta được nghiệm duy nhất là x = 7
ĐS : Hệ có một nghiệm là (7;7)
Bài 30: ĐH Hồng Đức –Khối A
Cho hệ phương trình : 
GiảI hệ với k= 0
Tìm tất cả các giá trị của k để hệ có nghiệm duy nhất
Giải : 
1. Với k=0 thì ta có hệ : ĐK : 
( với u=x+y; v=xy)
 Từ đó dễ dàng giải ra 
2ĐK : 
Trong hệ đã cho vai trò của x và y là như nhau. Do đó diều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x=y.
Thế x=y vào hệ ta được: 
Nhưng với k=0 thì hệ có ba nghiệm. Vậy k=0 không là kết quả cần tìm
ĐS : Không tồn tại k thoả mãn yêu cầu đề bài
Bài 31 : Xác định tham số a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:
Giải : Giả sử hệ có nghiệm là thì do vai trò của x, y như nhau ,nên 
 cũng là nghiệm của phương trình . Vì vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x=y.
Thay y=x vào phương trình đầu ta có : 
Phương trình này có nghiệm duy nhất 
Điều kiện đủ: khi thì hệ trở thành : 
Hoặc Hoặc vô nghiệm
ĐS : 
Bài 32 : Học viện ngân hàng-Phân viện ngân hàng tp HCM
Giải hệ phương trình: 
HD: đây là hệ có vế trái đẳng cấp bậc 2 đối với x và y
ĐS: hệ có 4 nghiệm là 
Bài 33 : Học viện chính trị Quốc gia HCM-Phân viện báo chí và tuyên truyền
Giải hệ phương trình: 
 Giải: ĐK :
Với x>0, y>0 ta có : 
Trừ từng vế hai phương trình ta có: 
Xét hàm số : 
 f(t) là hàm đồng biếnị phương trình (*) Û x=y
Thay y=x vào phương trình (1) ta có : 2x3-x2-1=0Û (x-1)(2x2+x+1)=0
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất là (1;1)
Bài 34: ĐH Đà Nẵng –Khối A
Giải hệ phương trình: 
Giải: ĐK: x>0; x≠1; y>0, y≠1
Hệ đã cho
Hệ đầu cho nghiệm x=y=10
Hệ sau vô nghiệm
ĐS: Hệ đã cho có nghiệm (10;10)
Bài 35 : ĐH Huế- Khối A, B, V
Cho hệ phương trình : 
Với a là số dương , khác 1. Xác định a để hệ phương tình trên có nghiệm duy nhất và giải hệ trong trường hợp đó
Giải: ĐK: 
Hệ đã cho Û (*)
Xét hai trường hợp: 
1. nếu a = 2: lúc đó từ (1) ta có : x2-y2=2 Dẫn tới hệ : Phương trình này có vô số nghiệm; chẳng hạn :
Nếu a ≠ 2 và a>0; a≠ 1: (*) Û Thay vào (1) ta có : x-y=a. Hệ đã cho Û ; 
 Hệ này có nghiệm duy nhất là: 
Bài 36: ĐH Cần Thơ - Khối A
1. Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau
 có đúng một nghiệm: 
 Giải: Nếu là nghiệm của hệ phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình. 
Vì vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là 
Thay vào hệ , ta có : a = .
ĐK đủ : Với a = , thì hệ trở thành : 
Phương trình (1)Û 
Nghiệm này thỏa mãn phương trình (2)ịHệ có nghiệm duy nhấtÛ a =
Các đề thi ĐH từ 2002 đến 2012
Bài 37: ĐH,CĐ-Khối D-Năm 2007
Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 
 Giải: 
Nếu x>0 : thì 
Nếu x<0 thì -x<0 và 
Vì thế nếu đặt thì ta có 
Tương tự : Đặt v= thì ta có 
Hệ đã cho 
ị u, v là nghiệm của phương trình : t2-5t+8-m=0 Û t2-5t+8 = m (*)
Hệ đầu có nghiệmÛ phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn .
Xét hàm số f(t)= t2-5t+8 với 
Bảng biến thiên:
x -Ơ -2 2 + Ơ 
y’ - 0 + 0 - 0 +	
 + Ơ 	+ Ơ
y 	
	 22 
 2 
Với m≥22; ÊmÊ2 thì đường thẳng y = m luôn cắt Parabol y= t2 -5t-+8 tại hai điểm phân biệtÛhệ xuất phát có nghiệm 
Bài 38 : ĐH,CĐ - khối D 2006
Chứng minh rằng với mọi a>0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 Giải: 
ĐK : x≥ 1; y≥ 1.
Từ (2) ta có :y=x+a thay vào (1) ta có : 
 f(x) = 
Xét hàm với x>-1; a>0
Hàm f(x) là hàm liên tục trên (-1;+∞) và :
; 
ị Phương trình : f(x) =0 có ít nhất một nghiệm trên (-1;+∞)
Hay với mọi a>0 thì hệ đã cho luôn có nghiệm 
Mặt khác : (vì )
ị f(x) biến thiên tăng trên [-1;+∞) .
Vậy với mọi a > 0, phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất trên (-1;+∞)
Bài 39 : ĐH,CĐ -Khối B- 2002
Giải hệ phương trình :
Giải: ĐK: 
Đặt thì phương trình (1) Û t2 = t3 Û t2(1-t) = 0 Û t = 0 Ú t = 1
Û (x-y=0) Ú(x-y=1)
(2) Û (x+y)2 = x+y+2 Û (x+y)2-(x+y) -2 = 0 Û
X+y=-1 (loại)
Dẫn đến các hệ : 
ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là : 
Bài 40: ĐH,CĐ -Khối D- 2002
Giải hệ phương trình :
Giải: Vì nên (2) Û (3)
Thay (3) vào (1) : 
Do >0 nên y= 0 loại; Với y = 1 thì x=0; Với y = 4 thì x = 2
ĐS: Hệ có hai nghiệm là 
Bài 41: ĐH,CĐ -Khối B-2003
Giải hệ phương trình :
Giải: ĐK: x≠ 0; y≠ 0
Hệ thứ nhất cho nghiệm (1,1)
Hệ thứ hai vô nghiệm
Bài 42 : ĐH,CĐ -Khối A-2003
Giải hệ phương trình : 
Giải: ĐK: x≠ 0; y≠ 0.
Lúc đó (1) Û 
Thay y=x vào (2) : x3-2x+1 = 0Û (x-1)(x2+x-1) = 0
ĐS : Hệ có ba nghiệm là 
Bài 43 : ĐH,CĐ -Khối A-2004
Giải hệ phương trình : 
Giải: y> 0; y> x
Bài 44 : ĐH,CĐ -Khối D-2004
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
Giải: Đặt : 
Hệ đã cho 
u và v là nghiệm của phương trình : t2-t+m = 0 (*)
Hệ đã cho có nghiệm Û phương trình (*) có nghiệm t không âm
Bài 45 : ĐH,CĐ -Khối B-2005
Giải hệ phương trình : 
Giải : ĐK: x≥ 1; 0 < yÊ 2 
(2) Û 3(1+log3x)-3log3y 3Û log3x=log3yÛ x = y
Thay y = x vào (1) ta có : 
ĐS : Hệ có hai nghiệm là (1;1), (2;2)
Bài 46: ĐH,CĐ -Khối A -2006
Giải hệ phương trình : 
Giải : ĐK : x ≥ -1; y ≥ -1; xy>0
Lúc đó : (2) Û x+y+2+2= 16 
Û Û 
Dẫn đến giải hệ :
ĐS : Hệ đã cho có một nghiệm là (3;3)
Bài 47: ĐH,CĐ -Khối A -2008
Giải hệ phương trình : 
Giải : với u = x2+y; v = xy
Bài 48: ĐH,CĐ -Khối B -2008
Giải hệ phương trình :
Giải : 
Hệ đó cho 
 Thay (4) v ào (3) v à đặt t=x+3 ta có : 
Với ; 
Vứi x=0 (loại , vì không thoả mãn (1))
ĐS : Hệ có một nghiệm là 
Cách khác : (1) Û (x2+xy)2=2x+9
Û xy= (3) . Thay (3) vào (1) :
X=0 không thoả mãn (1)
X=-4
Bài 49: ĐH,CĐ -Khối D -2008
Giải hệ phương trình : 
Giải: ĐK : x ≥ 1; y ≥ 0
Û x2-2y2+(xy-2xy)-x-y=0Û (x+y)(x-2y-1)=0Ûx=-y Ú x=2y+1 
*Với x = - y : vì y > 0 nên x < 0 loại
*Với x = 2y +1,thay vào (2) ta có : ((loại) 
Với y= 2 thì x= 5
ĐS : hệ đã cho có một nghiệm là (5;2)
Bài 50: ĐH,CĐ -Khối B -2009
Giải hệ phương trình : 
Giải; Hệ đã cho
*Với x=3y thì (1) trở thành : 3y2-4y+1=0
*Với x =12y thì (1) trở thành : 12y2+5y+1=0 phương trình này vô nghiệm(vì)
ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là : 
Bài 51: ĐH,CĐ -Khối D -2009
Giải hệ phương trình :
Giải: Hệ dã cho ( u=x+y; v=)
*Với 
*Với 
ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là 
Bài 52: ĐH,CĐ -Khối A -2010
 *Giải hệ phương trình : 
Giải: Phương trình thứ nhất của hệ (1)
Nhận xét : (1) có dạng với f(t) =(t2+1)t
 f’(t) =3t2+1 > 0,ị f đồng biến trên .
Do đó (1) Û 2x=
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
Nhận thấy x=0; x= không phải là nghiệm của phương trình (3)
Xét hàm g(x) = trên 
g’(x) =ị g(x) là hàm nghịch biến trên .
Mặt khác do đó (3) có nghiệm duy nhất là ị Hệ có nghiệm là 
Bài 53: ĐH,CĐ -Khối B -2010
Giải hệ phương trình :
Giải: ĐK: 
. Thay vào (2) ta có :
*Với y=0 (loại)
*Với y=ị x=-1
Vậy hệ đã cho có nghiệm là 
Bài 54: ĐH, CĐ -Khối A-2011
Giải hệ phương trình :
Giải: (2)Û 
TH1: 
TH2: Û
Û
Tóm lại hệ đã cho có 4 nghiệm là: 
Bài 55 : CĐ, ĐH –Khối D-2011
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
Giải:
 Hệ đã cho Û 
Với u=x2-x; v=2x-y; ĐK : 
Û 
Xét hàm trên 
x + 
y’ + 0 - 
y 	 
 -
Vậy hệ có nghiệm thuộc Û 
Bài 56: Khối A- 2012
Giải hệ phương trỡnh : 
Cỏch 1: 
Đặt t=-x thỡ hệ trở thành Lưu ý : với S=y+t; P=y.t
Hệ trở thành :
Vậy hệ cú nghiệm là : 
Cỏch 2 :
Hệ đó cho:
Từ (2) ta cú :
Xột hàm số : trờn D = 
 nghịch biến trờn D.
Từ đú (3) 
Thay (3) vào (2) ta cú : 
Vậy hệ cú nghiệm là : 
Bài 57: Khối D-2012
 Giải hệ phương trỡnh: (x, yR)
Vậy hệ cú ba nghiệm là