Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An lớp 12 năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán 12 THPT - Bảng A

Đề chính thức
Sở GD&ĐT Nghệ An
Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 
Năm học 2008 - 2009
Môn thi: toáN 12 THPT- bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (3,0 điểm)
	Tỡm m để phương trỡnh sau cú bốn nghiệm phõn biệt thuộc đoạn 
Câu 2. (3,0 điểm)
	Cho hệ (a là tham số).
Tỡm a để hệ cú nghiệm thỏa món điều kiện 
Câu 3. (3,0 điểm)
	Cho hàm số 
Tớnh đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Câu 4. (3,0 điểm) 
	Cho ba số dương a,b,c thay đổi. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
Câu 5. (3,0 điểm) 
	Cho n là số tự nhiờn, Chứng minh đẳng thức sau:
Câu 6. (3,0 điểm) 
	Cho khối chúp S. ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, AD, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chúp S.ABCD thành hai phần cú thể tớch bằng nhau.
Câu 7. (2,0 điểm) 
	Cho tứ diện ABCD cú AB = CD, AC = BD, AD = BC và mặt phẳng (CAB) vuụng gúc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng:
-------------Hết-------------
Họ và tờn thớ sinh:...............................................................Số bỏo danh:..........................
.
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 
Năm học 2008 - 2009
hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán 12 THPT - bảng A
----------------------------------------------
Câu
Nội dung
Điểm
1
3.0
Phương trình đã cho tương đương
 Û (1)
0.50
Đặt t = cos4x ta được: , (2)
Với thì 
0.50
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt tẻ[-1; 1), (3)
0.50
Xét g(t) = với , g’(t) = 8t+1.
g’(t) = 0 Û t = 
0.50
3
g’(t) 0 + 
t 1 
g(t)
5
Bảng biến thiên
0.50
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra Û Û 
Vậy giá trị m cần tìm là: .
0.50
2
3,0
Đặt từ (1) và điều kiện suy ra 
Khi đó ị y = t2 – 8t +16.
0.50
Khi đó bất phương trình (2) trở thành (3)
Đặt .
0.50
Ycbt Û bất phương trình (3) có nghiệm t ẻ[3;4] Û 
0,50
0,50
Ta có 
0,50
Từ đó suy ra . Vậy a ≥ 
0.50
3
3.0
0.5
0.5
0.5
0.5
 Mặt khác với , ta có 
0.5
Vì liên tục trên R nên từ đó suy ra đạt cực tiểu tại 
0.5
4
3,0
Đặt 
Khi đó: 
0.50
Ta có 
0.50
áp dụng bđt BCS ta được
0.50
. Mặt khác 
0.50
Suy ra , do đó 
0.50
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 
0.50
5
3.0
Ta có với , 
0.5
Đạo hàm hai vế của (1) ta được 
0.5
Suy ra 
1,0
Đạo hàm hai vế của (2) ta được 
0.5
Thay vào (3) ta được đpcm
0.5
6
A
D
S
P
C
B
M
E
F
N
I
K
O
3.0
Gọi K và I lần lượt là giao điểm của MN với CD và BC, ta có CK = CD, CI = CB
0.25
d(P,(ABC)) = d(S,(ABC))
0.25
VPCIK = CI.CK.sin.d(P,(ABC)) 
0.25
 =(CB.CD.sin.d(S;(ABC)) 
0.25
ị VPCIK = VSABCD , (1)
0.25
Mặt khác (2)
0.5
Từ (1) và (2) ị VIBEM = VSABCD
0.25
Tương tự VKNDF = VSABCD
0.25
Gọi V2 là thể tích của khối đa diện giới hạn bởi mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng đáy ị V2 = VPCIK - (VIBEM + VKNDF)
0.25
 = VSABCD - VSABCD = VSABCD
0.25
Vậy V2 = VSABCD ị đpcm Œ
0.25
7
2,0
M
A
B
D
C
A
C
Đặt 
Ta có DABC nhọn và DABC = DDCB = DCDA = DBAD. 
Suy ra 
0.5
Hạ , vì nên 
0.5
áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta được 
0.25
Từ (1), (2), (3) ta được 
0.25
0.5
M
A
B
C
D
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng với biểu điểm quy định.