Đề tài Các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp

Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 2 
MỤC LỤC 
 Trang 
Lời nói đầu 3 
Chương I. Khái niệm mở đầu 4 
A. Cơ sở lí thuyết 4 
B. Phƣơng pháp giải toán 4 
Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân 4 
Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng 4 
Chương II. Chỉnh hợp – Hoán vị 6 
A. Cơ sở lí thuyết 6 
B. Phƣơng pháp giải toán 7 
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi 7 
Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị 9 
Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A và Pn 10 
Chương III. Tổ hợp – Nhị thức Newton 16 
A. Cơ sở lí thuyết 16 
B. Phƣơng pháp giải toán 17 
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ 17 
Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc tƣơng ứng 22 
Các sai lầm thƣờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp 25 
Vấn đề 3: Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề 26 
Vấn đề 4: Chứng minh một hệ thức các 28 
Vấn đề 5: Chứng minh một hệ thức bậc hai của 30 
Vấn đề 6: Phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa 32 
Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 34 
Vấn đề 8: Tìm hệ số của một luỹ thừa trong một biểu thức khai triển 36 
Vấn đề 9: Tính tổng các 39 
Vấn đề 10: Tính các tổng bằng phƣơng pháp đạo hàm và tích phân 41 
r
n
k
nC
k
nC
k
nC
k
nC
k
nC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 3 
LỜI NÓI ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài 
 Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế để phát triển trí tuệ cho học sinh. Trong quá trình 
giảng dạy môn toán, việc đƣa ra những phƣơng pháp giải cho từng dạng toán giúp cho việc giải 
các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn. Từ đó tạo sự hứng thú và say mê cho học sinh 
khi học tập môn toán. Trong chƣơng trình toán ở trƣờng THPT, đại số tổ hợp là một nội dung 
khó đối với học sinh. Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau 
không thấy đƣợc đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp  Tuy nhiên, các bài toán dạng này 
thƣờng gắn liền với thực tiễn và rất thực tế, nên thƣờng gây đƣợc sự hứng thú trong học tập cho 
học sinh. Chính vì vậy, việc hƣớng dẫn và đƣa ra phƣơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ 
hợp là hết sức cần thiết. Nó đòi hỏi ngƣời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả 
năng sƣ phạm của mình. 
 Vì những lí do này tôi đã chọn đề tài về các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho 
sáng kiến kinh nghiệm của mình. Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực 
cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong 
các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các trƣờng Cao đẳng hay Đại học. 
2. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu 
2.1 Mục đích nghiên cứu: 
 Phát hiện và hệ thống hóa những phƣơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp ở trƣờng 
THPT. 
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu: 
 Tìm hiểu và đƣa ra các phƣơng pháp giải các nội dung chính của phần đại số tổ hợp. 
2.3 Đối tượng nghiên cứu: 
 Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của 
hàm số (tùy mức độ nhận thức của học sinh). 
3. Phương pháp nghiên cứu: 
 Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp. 
4. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm: 
 Mở đầu 
 Chƣơng I: Khái niệm mở đầu. 
 Chƣơng II: Chỉnh hợp – hoán vị. 
 Chƣơng III: Tổ hợp – Nhị thức Newton 
 Kết luận sáng kiến kinh nghiệm 
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 4 
Chương I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
I. BỘ SẮP THỨ TỰ GỒM n PHẦN TỬ 
 Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết dƣới dạng (a1, a2,, ak,, an) gọi là một bộ sắp thứ 
tự gồm n phần tử hay gọi tắt là bộ n sắp thứ tự 
II. QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM 
 1. Qui tắc nhân của phép đếm 
 Giả sử một hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,Nếu ta có m cách khác 
nhau để thực hiện giai đoạn A, một khi đã thực hiện xong A ta có n cách thực hiện giai đoạn B, 
một khi đã thực hiện xong B ta có p cách thực hiện giai đoạn C thì ta có tất cả cách 
chọn để thƣc hiện hành động H. 
 2. Qui tắc cộng của phép đếm 
 Nếu r tập hợp A1, A2, Ar đôi một rời nhau lần lƣợt có số phần tử là n1, n2 , nr thì phần 
hợp của các tập hợp này có số phần tử là n1 + n2 + + nr . 
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân 
Để tính số cách xảy ra của một hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các gia i 
đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân của phép đếm. 
 Ví dụ 1. Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n ngƣời tham dự. Mỗi ngƣời 
chơi đúng một bàn với ngƣời khác. Chứng minh rằng có 1.3.5(2n -1) cách sắp đặt. 
GIẢI 
 Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn) 
• Với ngƣời chơi thứ nhất, có 2n – 1 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 2 ngƣời chƣa 
đấu, nên 
• Với ngƣời chơi thứ hai, có 2n – 3 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 4 ngƣời chƣa 
đấu 
• Với ngƣời chơi thứ ba, có 2n – 5 cách chọn đấu thủ của anh 
 .. 
• Với ngƣời thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại 
 Vậy có 1.3.5 (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi. 
Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng 
 Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo 
n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một 
trong hai công việc. 
 Ví dụ 1. Nếu thƣ viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có 
85 + 63 = 148 
cách để mƣợn một quyển Toán hoặc Lí từ thƣ viện. 
...m n p
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 5 
 Ví dụ 2. Trong 2006 năm qua có bao nhiêu năm không phải là năm Tuất ? 
GIẢI 
 Lấy năm Tuất 2006 làm mốc thời gian (t = 0) rồi ngƣợc dòng thời gian trở về quá khứ thì khi 
số năm là bội của 12 là năm Tuất . Ta có tất cả = 167 năm Tuất 
 Còn lại 2006 – 167 = 1839 năm không phải là năm Tuất. 
BÀI TẬP 
1.1 Có bao nhiêu số chẵn , lớn hơn 5000 , gồm 4 chữ số khác nhau . 
HD : Chữ số hàng ngàn 5 và chữ số hàng đơn vị là chẵn. 
 + Có 3.5.8.7 = 840 số chẵn bắt đầu bằng chữ số lẻ. 
 + Có 2.4.8.7 = 448 số chẵn bắt đầu bằng chữ số chẵn. 
 Vậy tổng cộng có 1288 số. 
1.2 Giả sử là các số nguyên tố khác nhau. Hỏi có bao nhiêu ƣớc số của số 
. ĐS: (k1 + 1) (k2 + 1 ) (kn + 1) . 
1.3 Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc bao nhiêu: 
a) Số tự nhiên gồm có ba chữ số khác nhau; 
b) Số tự nhiên gồm có hai chữ số khác nhau; 
c) Số tự nhiên. 
ĐS: a) 6 số; b) 6số; c) 15 số. 
1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau đƣợc thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng . Xét các trƣờng hợp của b ta có 13 số. 
1. 5 Có tất cả bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 nếu 
a) Số đó nằm từ 200 đến 600 
b) Số đó gồm 3 chữ số 
c) Số đó gồm 3 chữ số khác nhau. 
ĐS : a) 32 b) 64 c) 24. 
1.6 Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10 chia hết cho 3 có thể viết bởi các chữ số 0, 1, 2. 
ĐS : 4373. 
12
2006
nppp ,...,, 21
1 2
1 2. ...
nkk k
nq p p p
ab
8
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 6 
Chương II. CHỈNH HỢP - HOÁN VỊ 
a. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 
I. KHÁI NIỆM VỀ GIAI THỪA 
 1. Định nghĩa: Với 
 Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n đƣợc gọi là n - giai thừa. Ký hiệu: n! 
* Quy ƣớc: 0! = 1 và 1! = 1 
 2. Tính chất 
* * * 
II. CHỈNH HỢP 
 1. Định nghĩa 
 Cho một tập A có n phần tử. Một chỉnh hợp n chập r (r n) của n phần tử là một bô sắp thứ 
tự gồm r phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho. 
 2. Tính chất 
 Hai chỉnh hợp n chập r của n phần tử là khác nhau nếu 
- Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau 
- Hoặc chúng gồm r phần tử nhƣ nhau nhƣng sắp xếp theo thứ tự khác nhau 
 3. Số chỉnh hợp chập r của n phần tử là 
A = n(n – 1)(n – 2) ... (n – r + 1) 
bằng tích của r số nguyên dƣơng liên tiếp 
III. HOÁN VỊ 
 1. Định nghĩa 
 Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là một 
chỉnh hợp n chập n ). 
 2. Số cách hoán vị n phần tử là Pn = n! (nghĩa là bằng tích của n số dƣơng đầu tiên ) 
, 1n n
! 1.2...n n
! ( 1)!.n n n
!
( 1)( 2)...
!
 ( )
n
k k n n k
k
!
( 1)( 2)...
( )!
n
n k n k n
n k
r
n
!
( )!
n
n k
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 7 
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi 
Ví dụ 1. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ với điểm 
đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác? 
GIẢI 
Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì 
không thẳng hàng. Do đó ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập đƣợc là một chỉnh 
hợp chập 2 của 15 phần tử. Vậy số vectơ là: (vectơ) 
 Ví dụ 2. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số với ba chữ số khác 0 cho trƣớc. 
GIẢI 
 Mỗi số có r chữ số là một chỉnh hợp chập r của 3 số đã cho (r 3). Vậy có A số với 1 chữ 
số , A số với 2 chữ số , A số với 3 chữ số . Tổng cộng có 
A + A + A = 3 + 3.2 + 3.2.1 = 15 số . 
 Ví dụ 3. Trong một trƣờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh 
viên phải chọn ra 2 trong 3 môn đó, một môn chính và một môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn? 
GIẢI 
 Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử.Vậy có : 
A = 3.2 = 6 cách chon. 
 Ví dụ 4. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 
chữ số khác nhau. 
GIẢI 
- Ta sẽ chọn đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách chọn một trong 3 chữ số chẵn 0, 2, 4 làm chữ số 
hàng đơn vị rổi ghép với một chỉnh hợp chập 4 của 5 chữ số chƣa dùng đến có 3.A số nhƣ 
vậy. 
- Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số nhƣ vậy đƣợc lập bằng cách chọn một trong hai 
số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 chƣa dùng đến, và 
cuối cùng đặt số 0 trƣớc 4 số đó có 2.A số nhƣ vậy. 
- Vậy có 3.A – 2.A = 5.4.32.2 – 4.3.22 = 312 số. 
 Ví dụ 5. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ 
số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5, 
 GIẢI 
 - Ta sẽ đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6 
rồi thêm chữ số 5 vào một vị trí bất kì Có 5A số nhƣ vậy. 
 - Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, một số nhƣ vậy đƣợc thành lập bằng cách lấy một 
chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số 5 vào một vị trí bất kì và cuối cùng đặt 
chữ số 0 trƣớc 4 chữ số đó Có 4A số nhƣ vậy. 
- Vậy ta có 5A – 4A = 6.52.4.3 – 5.42.3 = 1560 số. 
0
2
15
15!
15.14 210
(15 2)!
A
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
2
3
4
5
3
4
4
5
3
4
4
6
3
5
4
6
3
5
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 8 
BÀI TẬP 
2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó 
 a) Có một chữ số 1. 
 b) Có chữ số 1 và các chữ số dều khác nhau. 
HD & ĐS : 
 a) Có cả thảy 4.73 = 1372 số trong đó có 3.72 = 147 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 
1372 – 147 = 1225 số. 
 b) Có tất cả 4A = 840 số trong đó có 3A = 90 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 840 – 90 = 75 ... nhau 
HD : 
12
1
x
x
6
12 924C
28
3 15
n
x x x
1 2 79n n nn n nC C C
1 2 79n n nn n nC C C
5
12 792C
n
x a
( ) (1 )n n n
a
x a x
x
(1 )n
a
x
1 1 1 1( 1) 1 .
1
n
n
u n r a n a n
r
xu r x r x
a
1
1
n
x
a
1p pu u
1
1
n
x
a
10
1 2
3 3
x
2 9 10
0 1 2 9 10... ka a x a x a x a x a R
ka
7
7
7 1710
2
 max 
3
ka a C
2 1
n
x 12x
4
10 210C
3 3na
3 3nx
2 1 2
n n
x x
3 3 26na n
124
43 5
2
1
n
x
3 1 1
2 2 3 1 1 2
2
k k
n n
n
C C k k n k
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 39 
 Vấn đề 9 
 Ta dùng khai triẻn nhị thức Newton : và chõ 
những giá trị thích hợp 
Ví dụ 1. Tính các tổng 
 a) A = và A’= 
 b) B = 
 c) C = 
GIẢI 
 Ta có 
 a) Cho x = 1 ta đƣợc A + A’ = 2n 
 Cho x = - 1 ta đƣợc A – A’ = 0 
b) Cho x = 2 ta đƣợc B = 
c) Ta có 
 Cho x = 3 ta đƣợc C = 
 Ví dụ 2. Chứng minh : 
GIẢI 
 Ta có : 
 Lấy (1) + (2) ta đƣợc : 
 + = 
 Cho x = 3 ta đƣợc : 
Ví dụ 3. Chứng minh nếu và 
 Thì 
GIẢI 
 Ta có và 
 Tƣơng tự nên hệ thức phải chứng minh tƣơng đƣơng với: 
0 1 2 21 ... 1
n n n n
n n n nx C C x C x C x
0 2 4 ...n n nC C C
1 3 5 ...n n nC C C
0 1 1 2 22 2 2 ...n n n nn n n nC C C C
0 1 1 2 23 3 3 ... 1
nn n n n
n n n nC C C C
0 1 2 21 ...
n n n
n n n nx C C x C x C x
1 A = A' = 2n
0 1 1 2 22 2 2 ... 3n n n n nn n n nC C C C
0 1 1 2 21 ... 1
n nn n n n
n n n nx C C x C x C x
0 1 1 2 23 3 3 ... 1 2
nn n n n n
n n n nC C C C
0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 23 3 ... 3 2 2 1
n n n n
n n n nC C C C
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 21 ... (1)
n n n n n
n n n n nx C C x C x C x C x
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 21 ... (2)
n n n n n
n n n n nx C C x C x C x C x
2
1
n
x
2
1
n
x 0 2 2 2 22 2 22 ...
n n
n n nC C x C x
4 2
22 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2n 2
0 2 2 2 2 2n-1 2 0 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
 4 2 2 3 ... 3 3 ... 3
2
2 2 1
3 ... 3 2 2 1 3 ... 3
2
n n
nn n n n n
n n n n n n
n
n n n n n
n n n n n n
C C C C C C
C C C C C C
S 1 ... nn q q
2
1 1 1
T 1 ...
2 2 2
n
n
q q q
1 2 n+1
1 1 1 1 n nS ... S 2 T
n
n n nC C C
1
1 2 1
2
q
q 11 S 1 nnq q
1
1 1
1 T 1
2 2
n
n
q q
Tính tổng các k
nC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 40 
 Mà và 
 Nên hệ thức đúng 
BÀI TẬP 
3.60 Tính các tổng sau 
a) A = 
 B = 
b) C = 
 D = 
 E = 
c) P = 
d) Q = 
e) S = 
ĐS : a) A = B = 
 b) C = D = E = 
 c) P = d) Q = 0 e) S = 
3.61 Chứng minh : 
HD : Xét khai triển 
3.62 Tìm hệ số của xm trong tổng S = trong các trƣờng hợp 
 và 
ĐS : + : 
 + : 
3.63 Chứng minh 
 a) 
 b) 
HD : Sử dụnh hệ thức Pascal 
1
1 2 2 1 1 1
1 1 1
1
1 1 ... 1 2 1 ( )
2
n
n n n
n n n
q
C q C q C q
1 2 1 1
1 1 1... 2 1
n n
n n nC C C
11 2 2 1 1
1 1 1... 1 1
nn n
n n nC q C q C q q
( )
0 2 4 22 4 ... 2 ...k kn n n nC C C C
1 3 5 2 12 4 ... 2 ...k kn n n nC C C C
0 1 22 4 ... 2 ...2k k n nn n n n nC C C C C
0 2 2 4 42 2 ...n n nC C C
1 3 3 5 52 2 2 ...n n nC C C
1 1 2 2 1 1
1 2 1...
k k k k k
n n n n n n k n nC C C C C C C C
1 2 3
2 3
1 1 2 1 3
1 ...
1 1 1
n n n
x x x
C C C
nx nx nx
1
1
kn
n
k
k n
kC
C
1 2 1 2
2
n n
1 2 1 2
2 2
n n
3n
3 1
2
nn 3 1
2
nn
.2k knC
1
2
n n
1
1
1 1
2 2 1 ; 1 0
n n
kk n k
n n
k k
C C
0 1 2 21 ...
n n n
n n n nx C C x C x C x
1
1 1 ... 1
k k n
x x x
m k m k
m k
1 1
1
m m
n kC C
m k
1
1
m
nC
1 1
1 1...
m m m m m
n n n p n n pC C C C C
0 1 2 3
1... 1 1
k kk k
n n n n n nC C C C C C
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 41 
 Vấn đề 10 
 Viết khai triển nhị thức Newton của 
 – Đạo hàm hai vế một số lần thích hợp, chọn giá trị x sao cho thay vào ta đƣợc đẳng thức 
phải chứng minh 
 – Lấy tích phân hai vế một số lần thích hợp trên các đoạn xác định ta sẽ đƣợc đẳng thức 
phải chứng minh 
 CHÚ Ý : 
1) + Khi cần chứng minh đẳng thức ta đạo hàm 2 vế trong khai triển 
+ Khi cần chứng minh đẳng thức ta đạo hàm 2 lần 2 vế trong khai triển 
2) + Khi cần chứng minh đẳng thức ta lấy tích phân với cận thích hợp 2 vế trong khai 
triển 
 + Khi cần chứng minh đẳng thức ta lấy tích phân với cận thích hợp 2 vế trong 
khai triển 
 Ví dụ 1. Chứng minh 
 a) 
 b) 
 c) 
GIẢI 
 Ta có : 
Đạo hàm 2 vế ta đƣợc : 
 a) Với , ta đƣợc : 
 b) Với , ta đƣợc : 
 c) Với , ta đƣợc : 
 Ví dụ 2. Chứng minh : 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
n
ax b
k
nkC
n
x b
1 knk k C
n
x b
1
k
nC
k
n
x b
1
k
nC
k m
nmx x b
11 2 32 3 ... 1 0
n n
n n n nC C C C
11 1 1 2 3 32 2 3.2 ... 1
nn n n n
n n n nC C C nC n
1 1 2 2 3 3 4 4 12 2 2 2 ... 3n n n n n nn n n n nC C C C nC n
0 1 1 2 2 2 ...
n n n n n n
n n n na x C a C a x C a x C x
1 1 1 2 2 3 3 2 12 3 ...
n n n n n n
n n n nn a x C a C a x C a x nC x
1, 1a x
11 2 32 3 ... 1 0
n n
n n n nC C C C
2, 1a x
11 1 1 2 3 32 2 3.2 ... 1
nn n n n
n n n nC C C nC n
2, 1a x
1 1 2 2 3 3 4 4 12 2 2 2 ... 3n n n n n nn n n n nC C C C nC n
2 3 21.2 2.3 ... 1 1 2n nn n nC C n nC n n
22 31.2 2.3 ... 1 1 0
n n
n n nC C n nC
1 2 2 3 4 4 22 3.2 3.4.2 ... 1 1 3n n n n nn n n nC C C n nC n n
21 2 2 3 4 42 3.2 3.4.2 ... 1 1 1
nn n n n
n n n nC C C n nC n n
Tính các tổng bằng phƣơng pháp đạo hàm và tích phân k
nC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 42 
GIẢI 
 Ta có : 
 Đạo hàm 2 vế 2 lần ta đƣợc : 
 a) Với , ta đƣợc : 
 b) Với , ta đƣợc : 
 c) Với , ta đƣợc : 
 d) Với , ta đƣợc : 
Ví dụ 3. Chứng minh với : 
GIẢI 
 Ta có : 
Đạo hàm 2 vế ta đƣợc : 
 a) Với , ta đƣợc : 
 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 
Ví dụ 4. Cho . Chứng minh rằng : 
GIẢI 
 Ta có : (1) 
 Cho x = 1 ta có L (2) 
 Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta có 
 Chia 2 vế cho x – 1 và lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế sau khi chia ta có đpcm. 
 Ví dụ 5. Cho a) Tính 
 b) Chứng minh : 
GIẢI 
0 1 1 2 2 2 ...
n n n n n n
n n n na x C a C a x C a x C x
1 2 2 3 3 21 1.2 2.3 ... 1
n n n n n
n n nn n a x C a C a x n nC x
1, 1a x
2 3 21.2 2.3 ... 1 1 2n nn n nC C n nC n n
1, 1a x
22 31.2 2.3 ... 1 1 0
n n
n n nC C n nC
2, 1a x
1 2 2 3 4 4 22 3.2 3.4.2 ... 1 1 3n n n n nn n n nC C C n nC n n
2, 1a x
21 2 2 3 4 42 3.2 3.4.2 ... 1 1 1
nn n n n
n n n nC C C n nC n n
, 2n N n
1 2 31 2 3 ... ! ( )nn n n nC C C nC n
n
0 1 1 2 2 2 ...
n n n n n n
n n n na x C a C a x C a x C x
1 1 1 2 2 3 3 2 12 3 ...
n n n n n n
n n n nn a x C a C a x C a x nC x
1, 1a x
1 2 3 12 3 ... 2n nn n n nC C C nC n
1( ) 2 ! (1)n n
(1)
1 1 1
S 1 ...
2 3
n
n
1
11 2 1
1 2 1
1
S S S ... 1 S
n
n n
n n n n n nC C C
n
1 1 2 21 ...
n n n n
n nx x C x C x
11 2 10 1 ... 1 1
n nn n
n n n nC C C C
11 1 2 2 11 1 1 1 ... 1 1
n nn n n n
n n nx x C x C x C x
, 2n N n
1
2 3
0
1
n
I x x dx
1
0 1 21 1 1 1 2 1...
3 6 9 3 1 3 1
n
n
n n n nC C C C
n n
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 43 
 a) Ta có : 
 b) Ta có : 
 Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta đƣợc : 
 Vậy 
 Ví dụ 5. Tính các tổng 
GIẢI 
a) Ta có 
 Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta đƣợc : 
 Mà 
 và . Vậy 
 b) Ta có 
 Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta đƣợc : 
 Mà 
 và . Vậy 
1
1
31 1 1
2 3 3 3
0 0
0
11 1 2 1
1 1 1
3 3 1 3 1
n
n
n n x
I x x dx x d x
n n
3 0 1 3 2 6 31 ...
n
n n
n n n nx C C x C x C x
2 3 2 0 1 5 2 8 3 21 ...
n
n n
n n n nx x x C C x C x C x
1
3 6 9 3 3
0 1 2
0
...
3 6 9 3 3
n
n n n
x x x x
I C C C
n
1
0 1 21 1 1 1 2 1...
3 6 9 3 1 3 1
n
n
n n n nC C C C
n n
1
1 1
A = , B = 1
k kn n
kn n
k k
C C
k k
1
0 1
1 1
1
n
n n
nk k k k
n n
k k
x
C x x C x
x
1
1 0
1 1
nkn
n
n
k
xC
dx I
k x
1
11 1
1
1
0 0
0
1 1 1 2 1
1
k k k k
k
k k
x x x
I I dx x dx
x k k
1
0 0 1
1 1 10
2 1
0 0
kn n n
n k k
k k k
I dx I I I I
k k 1 1 1
2 1
 = 
k kn n n
n
k k k
C
k k k
1 1
0 1
1 1
1 1 1
n
n n
k n kk k k k
n n
k k
x
C x x C x
x
1
1
1 0
1 1
1
nkn
k n
n
k
xC
dx J
k x
1
1 1 11 1
1
1
0 0
0
1 1 1
1 
2
k k k
k
k k
x x x k
J J dx x dx
x k
0 0 1
1 1
1
0
n n
n k k
k k
J J J J J
k
1
1 1
1
1
kn n
k n
k k
C
k k
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 44 
BÀI TẬP 
3.64 Chứng minh 
a) 
b) 
HD: Đạo hàm 2 vế 
 a) Cho 
 b) Cho 
3.65 Chứng minh 
a) 
b) 
HD: Đạo hàm 2 vế 
 a) Cho 
 b) Cho 
3.66 Chứng minh 
HD : Ta có 
 Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta đƣợc : 
3.67 Chứng minh 
HD : Ta có 
 Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế ta đƣợc đpcm 
3.68 Tính 
a) 
b) Q = 
c) R = 
d) S = 
HD : a) Đặt 
 b) Ta có 
 Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta đƣợc : 
1 2 2 3 3 4 4 12 2 3.2 4.2 ... 3n n n n n nn n n n nC C C C nC n
1 1 2 2 3 3 13 2 3 3 3 ... 4n n n n nn n n nC C C nC n
0 1 1 2 2 2 ...
n n n n n n
n n n na x C a C a x C a x C x
2, 1a x
3, 1a x
0 1 13 4 ... 3 2 6n nn n nC C n C n
0 13 4 ... 1 3 0
n n
n n nC C n C
3 0 3 1 1 4 2 2 5 3...
n n n n n n
n n n nx a x C a x C a x C a x C x
1, 1a x
1, 1a x
1
0
2 1
1 1
k nn
n
k
C
k n
0 1 2 21 ...
n n n
n n n nx C C x C x C x
1
0
2 1
1 1
k nn
n
k
C
k n
0 2 1 3 2 11 1 11 12 2 2 ... 2
2 3 1 1
n n
n n
n n n nC C C C
n n
0 1 2 21 ... 1
n n n n
n n n nx C C x C x C x
2 1 2 2 2 3 2 2P = 1 2 3 ... ...k nn n n n nC C C k C n C
2 3 1
1 1 22 1 2 1 2 1...
2 3 1
n
n
n n n nC C C C
n
0 1 2
...
1 1 1
n
n n n nC C C C
n n n
11 2 1
...
2 3 1
n
nn n
n
C C
C
n
1 , 1
n n
f x x g x x x
2S = '' 1 ' 1 1 2ng f n n
0 1 2 21 ... 1
n n n n
n n n nx C C x C x C x
2 3 1 1 1
1 1 22 1 2 1 2 1 3 2...
2 3 1 1
n n n
n
n n n nC C C C
n n
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 45 
 c) 
 d) Đặt 
3.69 Chứng minh 
HD Ta có 
3.70 Chứng minh 
HD : Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế trong khai triển 
KẾT LUẬN CHUNG 
 Với mục đích nghiên cứu của đề tài là phát hiện và hệ thống hóa những phƣơng pháp để giải 
các bài toán đại số tổ hợp ở trƣờng THPT, sáng kiến kinh nghiệm đã nghiên cứu về các nội dung 
của phần đại số tổ hợp, đƣa ra các phƣơng pháp giải cho từng nội dung cụ thể. Trong mỗi 
phƣơng pháp giải có các ví dụ và bài tập minh họa cụ thể. 
 Với những nghiên cứu đã trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi hi vọng rằng 
nó sẽ là một tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong nhiều bài toán về phần đại số tổ 
hợp. Giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc, rèn luyện cho học sinh các 
kĩ năng và phƣơng pháp khi giải các bài toán về đại số tổ hợp. 
Chi Lăng, ngày 19 tháng 5 năm 2010 
Thủ trưởng đơn vị nhận xét, đánh giá Người viết 
 Dương Đình Chiến 
Xác nhận của Sở giáo dục đào tạo : 
Đề tài khoa học đƣợc đánh giá, xếp loại:. 
1
1
0
1 2 1
2
1 1 2
n
nx
n n
0 1 2 21 ... 1
n n n n
n n n nf x x C C x C x C x
1
0
1
1 S = S
1 1
n
f x dx
n n
0 1 2 11 1 1 1...
2 4 6 2 2 2 1
n
n
n n n nC C C C
n n
0
2
0
1
VT 1
2 1
n
x x dx
n
1 2
0 1
2 2 21 1 1
...
3 4 3 1 2 3
n
n
n n n
n n
C C C
n n n n
2 1
n
x x