Đề luyện tập: Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan

Đề luyện tập số 1: Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan
1. Cho hàm số:  y =

x2 - (m +1)x - m2 + 4m - 2
x -1
Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và
cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho hàm số:  y = mx3 - 3mx2 + (2m +1)x + 3 - m (Cm )
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó
đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của (Cm ) luôn đi qua một điểm cố định.
3. Cho hàm số:  y =

x -1
x +1
Chứng minh mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường thẳng tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi.
4. Chứng tỏ rằng đường cong  y =

x +1
x2 +1

có 3 điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng.
5. Cho đồ thị của hàm số:  y =

x + 2
x - 3
Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận
đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.
6. Cho hàm số  y = x3 + 3x2 + mx + m
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
7. Cho hàm số

2x2 - 3x + m
x -1
Với nhứng giá trị nào của m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3; +¥)
8. Chứng minh rằng: với x > 0 , ta luôn có: ex > 1+ x +

x2
2
10. Cho đồ thị (C) của hàm số:  y = -x + 3 +

3
x -1

Page 1 of 130
Chứng minh rằng đường thẳng  y = 2x + m  luôn luôn cắt (C) tại hai điểm có hoành độ
x1, x2 .
Tìm giá trị của m sao cho d = (x1 - x2 )2 đạt giá trị nhỏ nhất.
11. Cho hàm số  y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 6 . Gọi (Cm ) là đồ thị của nó.
Tìm tất cả các điểm cố định trong mặt phẳng tọa độ mà (Cm ) luôn đi qua với mọi giá trị
m. Tiếp tuyến của (Cm ) tại mỗi điểm đó có cố định hay không khi m thay đổi, tại sao?
12. Xét hàm số:  y =

x2 + 3x + m
x +1

, với m là tham số
Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường
phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ?
Chứng minh rằng khi đó đồ thị của hàm số có điểm cực đại và cực tiểu.
13. Cho hàm số  y =

x2
x -1

.
Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy để từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp
tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
14. Cho hàm số  y = -x3 + 3x + 2
Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị.
15. Cho hàm số  y = x +

1
x

(C)
1. Chứng minh (C) có một tâm đối xứng .
2. Lập phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên
16. Cho hàm số  y =

x2 + 4x +1
x

.
Qua điểm A(1;0), viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị.
17. Cho hàm số  y =

x2 + x -1
x -1

.

Page 2 of 130
Tìm m để đường thẳng  y = mx - 2m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của
(C) .
18. Cho hàm số  y =

x2 - 2x + 2
x -1

và (d1) :  y = -x + m và (d2 ) :  y = x + 3
Tìm tất cả giá trị của m để (C) cắt (d1) tại 2 điểm phân biệt  đối xứng nhau qua (d2 ) .
19. Cho hàm số  y =

2x2 + (1- m)x +1+ m
-x + m

(Cm ) .
CMR "m ¹ -1, các đường (Cm )  tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố
định. Xác định phương trình đường thẳng đó.
2m x2 + (2 - m2 )(mx +1)
20. Cho hàm số  y =

2

mx +1

(1)
Chứng minh rằng với "m ¹ 0 , tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một
parabol cố định.Tìm phương trình của parabol đó.
21. Cho hàm số  y =

2x2 + (m +1)x - 3
x + m
Xác định m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với parabol  y = x2 + 5
22. Cho hàm số  y = x3 + mx2 - m -1.
Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi
giá trị của m. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi.
23. Cho hàm số  y =

-2x - 4
x +1
Biện luân theo m số giao điểm của đồ thị trên và đường thẳng 2x - y + m = 0 .
Trong trường hợp có hai giao điểm M,N thì hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.
24. Cho hàm số  y = 2x -1+

2m
x -1
1. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng thời có cực đại và cực tiểu.
2. Tìm quĩ tích các điểm cực đại và cực tiều của đồ thị hàm số khi m thay đổi.
Page 3 of 130
25. Cho hàm số  y = 2x3 - (2 + m)x2 +1 (1) , với m là tham số .
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ .
26. Cho hàm số   y =

2x2 + (m - 4)x - 2m +1
x - 2

(1)
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng .
27. Cho hàm số  y = x3 - (3 + m)x2 + mx + m + 5
Với giá trị nào của m để trên đồ thị có 2 điểm đối xứng qua gốc O.
28. Cho hàm số:   y =

x2 - x +1
x -1
Xác định điểm  A(x1; y1)  với  x1 > 0  thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách
đến giao điểm của hai tiệm cận là nhỏ nhất.
29. Cho hàm số  y =

x2 + 2mx + 2
x +1

, (m là tham số).
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách tự hai
điểm đó đến đường thẳng  x + y + 2 = 0 bằng nhau.
30. Cho đồ thị (C) của hàm số  y =

x2 + 2x + 2
x +1
Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M với (C)
cắt hai đường tiệm cận tại A,B.
Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giác IAB không phụ
thuộc vào vị trí điểm M trên (C).
31. Cho hàm số  y = x +1+

1
x -1

. Gọi đồ thị đó là (C).
Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo
với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Page 4 of 130
Đề luyện tập số 1: Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan
1. Cho hàm số:  y =

x2 - (m +1)x - m2 + 4m - 2
x -1
Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và
cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
, D = -m2 + 3m - 2 Þ y¢ = 1-
y =

x2 - (m +1)x - m2 + 4m - 2
x -1

= x - m +

D                                                      D
x -1                                               (x -1)2
Hàm số đạt cực trị Û y có 2 nghiệm phân biệt Û D > 0 Û1 < m < 2
Hàm số đạt cực trị tại  x1,2 = 1±   D  và các giá trị tương ứng là:
= 1- m ± 2   D   Þ  y1	2 = (1- m)2 - 4D = 5m2 -14m + 9 = 5(m -	)2 -	³ -
x1,2 -1	5	5
y1,2  = x1,2 - m +

D                                                                                                                                                7   4   4

y

5
Vậy y1 y2 nhỏ nhất Û m =

7
5

.
2. Cho hàm số:  y = mx3 - 3mx2 + (2m +1)x + 3 - m (Cm )
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó
đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của (Cm ) luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
y¢ = 3mx2 - 6mx + 2m +1. Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y¢ có 2 nghiệm phân biệt
Û m ¹ 0 và D¢ = 9m2 - 3m(2m +1) > 0 Û  m  1
được kết quả:

.  Chia  y  cho  y’,  ta
.y¢ +
x +	Þ y =
x +	là phương trình đường thẳng
y =

x -1        -2m + 2   10 - m            -2m + 2   10 - m
3                3                3                      3                3
qua các điểm cực trị. Đường thẳng này luôn qua điểm I (-   ;3) cố định.
1
2
3. Cho hàm số:  y =

x -1
x +1

Page 5 of 130
Chứng minh mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường thẳng tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi.
Lời giải:
(C) Þ y¢ =
y = 1-

2                            2
x +1                    (x +1)2
TCĐ: x = -1
TCN:  y = 1
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là I (-1;1)
m +1
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (C).Vậy tọa độ điểm M (m;1-
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị(C) tại M là:

2

)
(x - m) +1-
y = y 'xM (x - xM ) + yM =

2                            2
(m +1)2                     m +1
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng.Vậy tọa độ A là nghiệm của hệ
(x - m) +1-
(m +1)	m +1
m +1
x = -1 và  y =

2                            2
2

Þ A(-1;1-

4

)
Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng. Tương tự ta có: Þ B(2m +1;1)
AI.d(B;AI ) =   .	.2 | m +1|= 4 (const).
Ta có diện tích tam giác AIB là: S =

1         1      4
2                   2  | m +1|
4. Chứng tỏ rằng đường cong  y =
Lời giải:

x +1
x2 +1

có 3 điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng.
y¢ =

-x2 - 2x +1
(x2 +1)2

;  y

¢¢ =

2(x -1)(x2 + 4x +1)
(x2 +1)3
y¢¢ triệt tiêu và đổi dấu tại  x1,2 = -2 ±   3, x3 = 1.
Page 6 of 130
; y2  =
Đồ thị có 3 điểm uốn là A1(x1; y1); A2 (x2; y2 ); A3(x3; y3) với  y1 =

1-   3    1+   3
4                 4

; y3 = 1
) = (-3 +	3).(1;	); A3 A1 = (-3 -   3).(1;   )
Þ A3 A2 = (-3 +   3;

-3 +   3             1                                   1

4                               4                                   4
1
Þ A3 A2 , A3 A  song song với nhau, do đó 3 điểm uốn thẳng hàng với nhau
5. Cho đồ thị của hàm số:  y =

x + 2
x - 3
Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận
đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.
Lời giải:
Giả sử  M (x0; y0 ) thuộc đồ thị. Gọi d1  là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và  d2  là
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Þ d1 =| x0 - 3 |; d2 =| y0 -1|=

5
| x0 - 3 |
Ta phải có d1 = d2 Þ x0 = 3 ±   5 . Có 2 điểm thỏa mãn bài toán có hoành độ x  = 3 ±   5 .
6. Cho hàm số  y = x3 + 3x2 + mx + m
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Lời giải:
f (x) = x3 + 3x2 + mx + m Þ f ¢(x) = 3x2 + 6x + m
f ¢(x) có D¢ = 9 - 3m
Nếu D¢ £ 0 Þ f ¢(x) ³ 0"x Þ hàm số luôn đồng biến
Nếu D¢ > 0 Þ f ¢(x) có 2 nghiệm phân biệt là x1 < x2 . Ta có:  f ¢(x) < 0 Û x1 < x < x2 .
Tức là hàm số nghịch biến trong khoảng (x1, x2 )
-3 +	D¢	-3 -	D¢	9
Yêu cầu bài toán: Û x2 - x1 = 1 Û

-                = 1 Û m =
3                3                         4

Page 7 of 130
7. Cho hàm số

2x2 - 3x + m
x -1
Û  y¢ =	³ 0"x > 3 Û 2x2 - 4x + 3 - m > 0"x > 3 Û m £ f(x) = 2x2 - 4x + 3"x > 3
(x -1)
Với nhứng giá trị nào của m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3; +¥)
Lời giải:
Hàm số đồng biến trong khoảng (3; +¥)
2x2 - 4x + 3 - m
2
f '(x) = 4x - 4 . Nên m £ f(x) "x > 3 Û m £ 9
8. Chứng minh rằng: với x > 0 , ta luôn có: ex > 1+ x +
Lời giải:

x2
2
Ta có:  f (x) = ex -1- x -

x2
2

Þ f '(x) = ex -1- x Þ f ¢¢(x) = ex -1 > 0"x > 0
Þ f ¢(x) đồng biến với  x > 0 Þ f ¢(x) > f ¢(0) = 0"x > 0
Þ f (x) đồng biến với  x > 0 Þ f (x) > f (0)"x > 0 Þ ex -1- x -
3
9. Cho đồ thị (C) của hàm số:  y = -x + 3 +
x -1

x2
2

"x > 0
Xét phương trình: 2x + m = -x + 3 +	Û 3x + m - 3 =
Chứng minh rằng đường thẳng  y = 2x + m  luôn luôn cắt (C) tại hai điểm có hoành độ
x1, x2 .
Tìm giá trị của m sao cho d = (x1 - x2 )2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
3	3
x -1	x -1
Û (3x + m - 3)(3x -1) - 3 = 0, x ¹ 1 Û 3x2 + (m - 6)x - m = 0  (dễ  thấy  1  không  phải  là
nghiệm của phương trình này)
Page 8 of 130
Theo Viet: d = (x1	2	1	2	1	2 = (	)  - 4(	) =   (m2 + 36) ³ 4
6 - m	2	-m	1
y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 6 Û x m2 + (5x3 - 6x2 )m + y - 6x + 6 = 0
D = (m - 6)2 +12m = m2 + 36 > 0,"m
Þ "m phương trình có 2 nghiệm phân biệt  Þ "m đường thẳng  y = 2x + m luôn cắ ... -1 Û x = y
- Thế vào phương trình đầu ta được:   x -1+   x2 - 2x + 2 = 3x-1 , phương trình này có
nghiệm duy nhất x = 1 (sd pp hàm số)
- Vậy ( x; y) = (1;1)
6, Điều kiện: x + y > 0;  x - y > 0
Ta có: í	Û í	10
î
ï	ï
ï(
x + y )  + ( x - y )  =
ïïx + y = 5
ïïx = 10
ì	ì	9
ïx - y = 1	ï y =  7
ì	2	2
Û í
î
ïx + y = 8( x - y )

13
î	î
5  Û í               Û í
ï            5      ï      10
ìï	ïì27 ( x + y ).3
27 ( x + y ).3y-x = 5
ïî3log5 ( x + y ) = x - y
7,

y-x
í                                 Û í                          x- y
ïî( x + y ) = 5  3

= 5
ì
ì	æ  5 ö	3
5
ï	=
ï	ïç 27	27
27.5	.3y-x = 5	÷	ìx - y = 3	ìx = 4
îx + y = 5	î y = 1
ï( x + y ) = 5	3
ï
î	ïî( x + y ) = 5
8, í
- 2	x+1 +1
ïî   y +1 = 2
x-y
x-y
3
Û í	Û íè	ø	Û í	Û í
x- y
x-y
3
ìï2  x+1 = y -   y +1 +1
2  x+2
ïîu = v  - v +1 ( 2)
- Đặt u =	y +1 ³ 0; v = 2

x+1

³ 2 , hệ trở thành: í            2

ï
ìv = u2 - u     (1)
Thế (1) vào (2) được: u4 - 2u3 +1 = 0 Û (u -1) (u2 +1) = 0 Û u = 1
2
Suy ra v = 0 (không thỏa mãn)
Page 42 of 130
- Vậy hệ vô nghiệm
Bài 10. Tìm tham số m để phương trình:
1,

4

x2 +1 -   x = m  có nghiệm
- Điều kiện  x ³ 0
- Đặt t = x2 ³ 0 , pt đã cho thành:  f (t ) =  4 t +1 - 4 t = m
PT đã cho có nghiệm Û f (t ) = m có nghiệm t ³ 0
Û 0 < m £ 1
2,

4

x4 -13x + m + x -1 = 0 có đúng một nghiệm
- Ta có:

4

x4 -13x + m + x -1 = 0 Û  4 x4 -13x + m = 1- x
ìï	ïìx £ 1
ïî4x  - 6x  - 9x = 1- m, (1)
ïîx  -13x + m = (1- x)
x £ 1
Û í   4	4 Û í	3	2
- PT đã cho có đúng 1 nghiệm Û (1) có đúng 1 nghiệm thảo mãn  x £ 1
Û  đồ thị hàm số  y = 4x3 - 6x2 - 9x  với  x Î(-¥;1] giao với đường thẳng   y = 1- m
tại đúng 1 điểm.
- Xét hàm  y = 4x3 - 6x2 - 9x  với  x Î(-¥;1] , lập bảng biến thiên từ đó ta dẫn tới đáp
số của bài toán là:  1- m  10
3, log2 ( x2 + 4mx) + log1 (2x - 2m +1) = 0 có nghiệm
2
- Ta có: log2 ( x2 + 4mx) + log1 (2x - 2m +1) = 0 Û log2 ( x2 + 4mx) = log2 (2x - 2m +1)
2
Û í	2
ïx > m -
ì2x - 2m +1 > 0
îx  + 4mx = 2x - 2m +1

ì             1
Û í             2
î
ï f ( x) = x2 + 2 (2m -1) x + 2m -1 = 0
- PT đã cho có nghiệm Û f ( x) có nghiệm  x > m -

1
2

Page 43 of 130
êï
êí1- 2m > m - 1	ém £ 0
êïî
Û ê
Û ê
ìD¢ > 0	êm >  9
êï	ë	4
êí	1
êï1- 2m +	D   > m -
m (t2 + 3) - t £ m +1 Û m £	= f (t )  (*)
éìD¢ = 0
2
¢
ëî	2
Bài 11. Tìm tham số m để bất phương trình:
1, log m+1 ( x2 + 3) > 1 đúng với mọi  x Î R
m+2
- Ta có:
2, m.2x -   2x - 3 £ m +1 có nghiệm
- Đặt t =   2x - 3 ³ 0 Þ 2x = t2 + 3 , hệ trở thành:
t +1
t2 + 2
- BPT đã cho có nghiệm Û (*) có nghiệm  t ³ 0  Û m £ max f (t ) Û m £
t³0

1
2  3 - 2
3, m
x2 - 2x + 2 +1	ë	ù
(                         ) + x(2 - x) £ 0 có nghiệm  x Î é0;1+   3û
- Đặt t =   x2 - 2x + 2 , với  x Î éë	ûù Þ t Î[1; 2] . Hệ trở thành:
m (t +1) + 2 - t 2 £ 0 Û m £	= f (t ) , (*)
- BPT đã cho có nghiệm  x Î éë	ûù Û (*) có nghiệm t Î[1; 2]
0;1+   3
t2 - 2
t +1
0;1+   3
Û m £ max f (t ) Û m £
Bài 12. Tìm tham số m để hệ phương trình:

[1;2]

2
3
ïîx +	xy  = 1
ìï2x - y - m = 0
1, í

có nghiệm duy nhất

Page 44 of 130
ìï2x - y - m = 0	ï y = 2x - m
ïî   x (2x - m) = 1- x
ï	ï
ïîx ( 2x - m) = (1- x)
ï	ï f ( x) = x2 - (	) x -1 = 0
Vì   D = (m - 2)   + 4 > 0,"m  nên f(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt; do đó (*) xảy ra khi
ïî	có nghiệm
2, í	2
- Ta có: í	Û í
ïîx +   xy = 1
ì y = 2x - m	ì y = 2x - m
Û íx £ 1	Û íx £ 1
2
- Hệ đã cho có nghiệm duy nhất Û f(x) có duy nhất một nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng 1,
(*)
2
và chỉ khi af (1) = 2 - m £ 0 Û m ³ 2
- Đáp số m ³ 2
ìï72x+   x+1 - 72+   x+1 + 2010x £ 2010
x  - (m + 2)x + 2m + 3 ³ 0
- Điều kiện:  x ³ -1
- Ta có:

72x+

x+1

- 72+

x+1

+ 2010x £ 2010
Û 72x+

x+1
2x +   x +1
+1005(                  ) £ 72+

x+1
2 +   x +1
+1005(                )
2x +   x +1	2 +   x +1
Û f (	) £ f (	)

(*)
Trong đó  f (t ) = 7t +1005t , dễ thấy  f (t ) là hàm đồng biến trên R
Do đó   (*) Û 2x +

x +1 £ 2 +   x +1 Û x £ 1
- Hệ đã cho có nghiệm Û x2 - (m + 2)x + 2m + 3 ³ 0 có nghiệm  x Î[-1;1]
Û m ³

x2 - 2x + 3
x - 2

:= g(x)  có nghiệm  x Î[-1;1]
Û m ³ min g(x) Û m ³ -2
xÎ[-1;1]
Page 45 of 130
ìï( x2 +1)m + (n2 +1)y = 2
ïîm + nxy + x  y = 1
3, í

2

có nghiệm với mọi n Î R
- Đk cần: Giả sử hệ có nghiệm với mọi n Î R thì hệ có nghiệm với n = 0
ìï( x2 +1)m = 1
ïîm + x  y = 1
Û í
Ú í	2
Với n = 0 hệ trở thành: í
- ĐK đủ:

2

ìx = 0    ìm = 0
îm = 1   îx  y = 1

Þ m = {0;1}
ìï(n2 +1)y = 1
ïînxy + x  y = 1
+ TH1: Xét m = 0 , hệ trở thành: í

2

Þ vô nghiệm
ìïx2 + (n2 +1)y = 1
ïînxy + x  y = 0
Û í
ìx = ±1
+ TH2: Xét m = 1, hệ trở thành:  í
2
Vậy m = 1 hệ luôn có nghiệm với mọi n Î R

î y = 0

; "n
ïe  = 2007 -
Bài  13.  Chứng  minh  rằng  hệ  í
điều kiện x > 0, y > 0

ì   x
ï
ïe y = 2007 -
ïî

y
y2 -1
x
x2 -1

có đúng  2  nghiệm thỏa  mãn
= ey -	Û  f ( x) =  f ( y )
x   -1	y2 -1
Giải: Từ hệ suy ra : ex -

x                     y
2
t	-1
Þ  f ¢(t ) = et  +	> 0  "t > 1  suy  ra  hàm f (t )  là  hàm
(t 2 -1)
Với   f (t ) = et -

t
2

1

3
đồng biến trên (1; ¥) do đó  f ( x) = f ( y) Û x = y
x   -1
Û g ( x) = ex +	- 2007 = 0
x   -1
Nên: ex = 2007 -

x
2

x
2
-1)
; g¢¢( x) = ex +	> 0, "x > 1
( x   -1)
2
Ta có:  g¢( x) = ex -

( x

1
2

3

3x

5
Page 46 of 130
	+	x®+¥x®1
Þ g¢( x)  đồng biến trên (1; ¥) , mà  lim g¢( x) = -¥; lim g¢( x) = +¥  nên  g¢( x) = 0  có
	+	x®+¥x®1
duy nhất một nghiệm  x0 ; mà  lim g ( x) = -¥; lim g ( x) = +¥
Þ  g ( x) = 0 có đúng 2 nghiệm (đpcm)
Bài 14. Xác định m để bpt:  92x

2

-x

- 2(m - a).62x

2

-x

+ (m +1).42x

2

-x

³ 0 nghiệm đúng
với mọi x  thỏa mãn   x ³ 1
Giải: Ta có: 92x

2

-x

- 2(m -1).62x

2

-x

+ (m +1).42x

2

-x

³ 0
æ 9 ö	æ 3 ö
Û ç   ÷	- 2 (m -1) ç   ÷
2x2 -x
è 4 ø	è 2 ø

2x2 -x

+ (m +1) ³ 0
æ 3 ö
è 2 ø	vì  x ³ 1, bpt trở thành: t2 - 2(m -1)t + (m +1) ³ 0 (*) .
Đặt t = ç   ÷
Þ t ³
2x2 -x
3
2
Vậy bpt đã cho đúng với mọi x thỏa mãn  x ³ 1 Û (*) đúng với "t ³

3
2
Û f (t ) =	³ m,  "t ³
t2 + 2t +1         3
2t -1	2

3
Û min f (t ) ³ m Û m £ 3
t³
2
(	)
Û (log3	3 ( x2 - 2x + 3) - m  = 0 Û ê
x - 2)  log
ë f (x) = x  - 2x + 3 - 3   = 0   (*)
Bài 15. Xác định m để pt  sau có 3 nghiệm phân biệt:
log3 x.log3 ( x2 - 2x + 3) - m log3 x - 2log3 ( x2 - 2x + 3) + 2m = 0 .
Giải: Điều kiện:  x > 0
Ta có: log3	3	3	3 ( x2 - 2x + 3) + 2m = 0x.log ( x2 - 2x + 3) - m log  x - 2log
éx = 8
2	m
PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt Û (*) có 2 nghiệm phân biệt dương khác 8
Page 47 of 130
ï c
ìD¢ = 3m - 2 > 0
ï
Û í   = 3 - 3m > 0
ï a
ïî f (8) = 51- 3m ¹ 0

Û log3 2 < m < 1
Đáp số: log3 2 < m < 1
Đính chính: Trong đề bài cũ có một số đề không chính xác, trong phần hướng dẫn
giải này đã chỉnh sửa lại phù hợp hơn. Rất mong các em thông cảm.
Page 48 of 130
Đề luyện tập số 3: Chuyên  đề nguyên hàm – tích phân
(Các em hãy cố gắng tự làm, lời giải thầy sẽ gửi sau 1 tuần, sau đó chúng ta cùng
trao đổi từng bài ở Box dành riêng cho lớp luyện thi Toán VIP)
Tính các tích phân sau:
xdx
I1 = ò
x	x -1dx
1
I3 = ò
2 2x +1+
4x +1
dx
2 x ( x  +1)
dx
I5 = ò
x - 2   x -1
I6  = ò x	1- x
3x + 2
I7  = ò
2x +1 +1
4x2 + x
I8  = ò
2x2 + 5x + 2
x2 -1
I9 = ò
1 ( x + 2)
x + 2
I10 = ò
x	1+ x dx
x sin x
I11 = ò
3 + cos2 x
( x +1)
1
I12  = ò
x   +1
dx
x  - x +1
I13 = ò
( x -1)
dx
sin x
ò
I14 =	dx
sin3 x
I15 = ò
1
I16 = ò
ò (sin   x + cos3 x) dx
I17  =
sin 2x
ò (2 + sin x)
sin 2x
ò (2 + sin x)
cos 2x
ò (sin x + cos x + 2)
ò (1- sin   x) sin
I21 =
xdx
4sin3 x
I22 = ò
1+ cos x
sin x cos  x
I23 = ò
1+ cos2 x
dx
e
I25  = ò
x + ln x
ò ( x +1)
I28 = ò x lg  xdx
I29  = ò (2x + 5) ln ( x +1) dx
x e2x
I30 = ò
( x +1)
dx
I31 = ò x2 ln (1+ x) dx
x + cos x
ò
I33 =	dx
p  4 - sin2 x
-
ò (tg x + e
I34  =
cos x)dx
ln2 x
ò1 x  ln x +1dx
I36 = ò
x  1+ 2ln x
2x +1
I37 = ò
1+   2x +1
sin 2x
ò  3 + 4sin x - cos 2x dx
æ	ö
x3
I39  = ò ç xe2x -	÷ dx
sin x + sin 2x
ò
3sin2 x + 4cos  x
(	)
ex
I43 = ò
(e
+1)
x
(	)
I44  = ò x	ex   +	x2 +1  dx
3
x
ò 1+ cos 2x dx
2
0	x + 2
3
I2 = ò	x - 7
1
6
dx
4
I4 = ò	3
10
5
1
8	3
0
1
dx
0
1
dx
0
2
dx
2  2
5	2
0
p
dx
0
2
2
0
3   2
3
2
p
2
0 sin x + cos x
p
3
dx
p  cos4 x
6

p
3
dx
p  cos x.sin3 x
4
p
2
3
0
p
2
I18 =                               2 dx
0
p
2
I19 =                               2 dx
0
p
4
I20 =                                                                                    2 dx
0
p
2
3         2
0
p
2
dx
0
p
2                     3
dx
0
ln3
I24 = ò ex + 2
0
1         2x
dx
0   ex -1
p
I26 = ò x.sin x.cos2 xdx
0
e
I27 =                      2 dx
1
e
10
2
1
2
0

1     2
2
0
1
0
I32 = ò x2 (e-x + sin 2x) dx
p
2
2
p
4
sin x
0
e3
I35 =
e   3 - 2ln x
dx
1
4
dx
0
p
2
I38 =
0
1
0 è                   4 - x2  ø
p
2
I40 =                                           dx
2
0
0
I41 = ò x  e-x + 3 x +1 dx
-1
ln3
dx
3
0
1
2
0
p
4
I45 =
0
Page 49 of 130
Đề luyện tập số 3: Chuyên  đề nguyên hàm – tích phân
æ	ö	æ 2
( x + 2)	2 - 4   x + 2 ö
2
= ò ç	÷ dx = ç	÷   =
2
x + 2 -
2
1, I1 = ò
0

xdx
x + 2

0 è                  x + 2 ø        è 3                               ø 0

3

2

8
3

2 -1
(          )
(x - 7)	(x -1)dx	6	x -1dx
= ò	ò	ò	ò
3
2, I2 = ò
1

x x -1dx
x - 7

3                                                3                                3                                          3
+                    =      x -1d (x -1) - 6
1           x - 7                    1     x - 7             1                                          1

(x -1)dx
x - 7
3
( x -1)2   - 6I2	2I ¢
¢ =	- 6
=

3
1
2             4 2
3                              3

3
với I2¢ = ò
1

(x -1)dx
x - 7
3
Để tính I2¢ = ò
1

(x -1)dx
x - 7

ta đặt

x -1 = t Þ x = t2 +1
2t dt
t  - 6
æ
6	ö
æ	t -   6 ö
= 2 ò ç1+	2	÷ dt = 2 ç	÷
è	ø  0
Þ I2¢ =

2
ò
0

2

2

2

0 è     t  - 6 ø                        t +   6

t + 3ln

2

= 2

(

2 + 3ln(2 -   3)

)
Do đó: I2 = 48ln(2 -   3) -

32 2
3
1
3, I3 = ò
6
2 2x +1+

4x +1

dx
Đổi biến t =   4x +1 Þ t2 = 4x +1Þ tdt = 2dx
tdt	d (t +1)	d (t +1)
Þ I3  = ò	2	= ò	ò
t	+ 2t +1	(t +1)	(t +1)
æ
æ	ö ö
= ç ln (t +1) + ç	÷ ÷   = ln	-
5	5	5
-
3	3	3

2

5
1                3    1
è                è t +1 ø ø 3        2   12
( x  +1) -1dx	dx	1   d ( x  +1)
é	ù
4	4	4
ln x -   ln ( x  +1)
4, I4 = ò
= ò	ò
-	= ê	ú   = ln 2 -   ln
x ( x3 +1)	x	x  +1	ë	3	û   2	3	9
3
3	3	4
1	3	1  65
3
2	2	2
5, I5 = ò
10
5

dx
x - 2   x -1

= 2ln 2 +1  (đổi biến t =   x -1 )
Đổi biến t =   1- x3 Þ t2 = 1- x3 Þ 2tdt = -3x dx
1
6, I6 = ò x8  1- x3
0
2
Page 50 of 130