Đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 môn Toán giáo dục trung học phổ thông

SỞ GD&ĐT BẾN TRE	ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 12
NĂM HỌC 2011-2012
Môn Toán Giáo dục trung học phổ thông
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
I. PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm)
Câu 1 (2,5 điểm)
π
x   +	x +1
a) Tính các tích phân sau:  I = ò sinx.e	.dx	và	J = ò
x
0	1
cosx
2                                                                                                      2   2
.dx .
b)  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số  y = x   - x  và trục Ox.
3
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình z4 - z2 - 6 = 0  trên tập số phức.
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức
z1 = 2 + 3i ,  z2  = -2 + i  và  z3 = -3 + 3i . Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.
Câu 3 (2,5 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(-1;2;1), B(1; -2;3)  và  C(1; 2; -1) .
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  (a )  đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng  D đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc
với mặt phẳng (a ) .
c) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
1. Phần A theo chương trình chuẩn:
Câu   4A (1,5 điểm)
2
a)  Tính tích phân  I = ò (2x +1).lnx.dx .
1
b) Tìm modun của số phức  z =
3 + 2i
1- i
+ 1+ 2i .
a) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường  y = xe   ,   y = 0,   x = 0,   x = 1 . Tính thể tích khối tròn xoay
Câu   5A (1,5 điểm)   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  (a )  và đường thẳng  D  lần
lượt có phương trình là:  x + 2y - 2z +1 = 0  và   x -1 =  y + 2  =  z - 2 .
1	1	-2
a) Chứng minh rằng đường   thẳng  D cắt mặt phẳng (a ) . Tìm toạ độ giao điểm.
b) Tìm các điểm M thuộc đường thẳng  D  sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (a )  bằng	2 . 2.
Phần B theo chương trình nâng cao:
Câu 4B (1,5 điểm)
x
2
tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
b) Viết số phức  z = (1- i	3)(1+ i)  dưới dạng lượng giác.
Câu   5B (1,5 điểm)	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  (a )  và đường thẳng  D  lần
lượt có phương trình là:  x + 2y - 2z +1 = 0  và   x -1 =  y + 2  =  z - 2 .
1	1	-2
a) Chứng minh rằng đường   thẳng  D cắt mặt phẳng (a ) . Tìm toạ độ giao điểm.
b) Tìm các điểm M thuộc đường thẳng  D  sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (a )  bằng	2.
------------Hết-----------
1
HƯỚNG DẪN CHẤM CỦA ĐỀ KIỂM TRA   HỌC KỲ   II   NĂM HỌC 2011 -2012
MÔN   TOÁN   - KHỐI  12 - Giáo dục trung học phổ thông
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu	Đáp   án	Điểm
Câu 1	2.5 đ
a) Tính các tích phân:
p
2
I = ò sinx.e	.dx
0
cosx
Đặt   t = cosx
Þ dt = -sinxdx
0,25
Đổi cận
x = 0    Þ t = 1;
x =
p
2
Þ t = 0
p
cosx	t	t
I = ò	ò e .dt = e	= e -1
x   +	x +1	1	1
J = ò	ò (x +	+	).dx
x	x	x
2	0
sinx.e	.dx = -
0	1
2	2	2
dx =
1	1
1
0
0,5
0,25
x2
= (	+ 2	x + ln  x )
2

2
1

0,5
b)   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số  y = x   - x  và trục
1
= 2	2 -	+ ln2
2
3
Ox.
Gọi S là diện tích cần tìm ta có:   S = ò	ò (x   - x).dx
(x   - x).dx  +
3	éx = 0
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox. là x   - x = 0 Û ê
ëx = ±1
0	1
3	3
-1	0

0,25
0,25
æ x	x	x	x	1
ö	æ	ö
=  ç	÷	ç	÷	=
4	2	4	2  ø
è	ø  -1	0
è
0	1
4	2	4	2
-	+	-

2

(đvdt)                                                               0,5
Câu 2	2.0đ
a) Giải phương trình trên tập số phức:
z4 - z2 - 6 = 0.
Đặt   t = z2   phương trình có dạng  t2 - t - 6 = 0	Û	ê
éz = i	2
t = -2 Þ z2  = -2 Û ê
êëz = -i	2
ét = -2
ët = 3

0,5
0,5
t = 3 Þ z2  = 3 Û z = ±	3
b)  z1 = 2 + 3i ,  z2  = -2 + i và  z3 = -3 + 3i .
Þ	A(2;3) ,   B(-2;1) ,	C(-3;3)	0,5
2
AB =	42 + 2	= 2	5 ;
BC =	12 + 2	=	5 ;	AC =	52 + 0	= 5
2	2	2
AB2 + BC2  = AC2 . Vậy tam giác ABC vuông tại B.	0,5
Câu 3	2.5đ
A(-1;2;1), B(1; -2;3)  và  C(1; 2; -1) .
AB(2; -4; 2);	BC(0; 4;-4)	Þ éë	ûù = (8;8;8)
n(1;1;1)  Ta có  n,   ë	ûù  cùng phương
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  (a ) .
uuur	uuur	uuur  uuur
AB, BC
r	r	uuur  uuur
éAB, BC
r
Mặt phẳng  (a )  nhận  n  làm VTPT và đi qua điểm A.

0,5
G(	;	;1) là trọng tâm của tam giác ABC.	0,25
r
Vậy	(a ) :	x + y + z - 2 = 0 .	0,25
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng  D đi qua trọng tâm G của tam giác
ABC và vuông góc với mặt phẳng  (a ) .
1 2
3   3
D đi qua G và vuông góc với mặt phẳng  (a ) ,  Þ D  nhận  n  làm VTCP
ï
ì	1
ïx = 3 + t
ï
ï	2
Vậy PTTS của đường thẳng  D   í y =	+ t
3

0,5
R=	=	=	6 .	0,5
ïz = 1+   t
ï
î
c) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB.
I(0;0; 2)  là trung điểm của AB.	0,25
Mặt	cầu	(S)	có	đường	kính	AB	nhận	I	làm	tâm	và	có	bán	kính
AB  2 6
2	2
x   + y   + (z - 2)   = 6	0,25
Vậy   (S):
2         2                  2
Câu 4A	1,5đ
2
c)  Tính tích phân  I = ò (2x +1).lnx.dx .
ïdv = (2x +1)dx  Þ  v = x2 + x
(2x +1).lnx.dx = éë	ûù	-
I = ò	ò (x +1).dx
(x   + x)lnx
1
ì	1
ïu = lnx	Þ  du =	dx
Đặt  í	x
î
2	2
2
2
1
1	1
0,25
0,25
= [(x   + x)lnx -
2
2	2
3

2

2
x                          5
- x]    = -     + 6 ln 2
1

0,25
3 + 2i
d) Tìm modun của số phức  z =               +1+ 2i .
1- i
3 + 2i                       (3 + 2i)(1+ i)
z=               +1 + 2i =                               + 1+ i
1- i                                     2
1+ 5i                       3  9
=              +1+ 2i =      +     i
2                           2      2
9  81  3 10
Vậy : Modun của z là          +        =
4       4            2
0,25
0,25
0,25
Câu 5A
1,5đ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  (a )  và đường thẳng  D  lần
x -1      y + 2       z - 2
lượt có phương trình là:  x + 2y - 2z +1 = 0  và               =              =             .
1              1             -2
a) Chứng minh rằng đường   thẳng  D cắt mặt phẳng (a ) .
ìx = 1+ t
ï
PTTS của  D   íy = -2 + t
ïz = 2 - 2t
î
Xét phương trình: ( 1 + t + 2(- 2 + t) - 2 ( 2 - 2t) + 1 = 0  Û  7t - 6 = 0 Û   t =  6
7
ì         13
ïx =
ï          7
ï         -8
Þ íy =   7
ï
ï         2
ïz =
î         7
æ 13  8 2 ö
Vậy: Đường   thẳng  D cắt mặt phẳng (a ) tại  A          ;-     ;
ç                      ÷
è  7       7   7 ø
0,25
0,25
0,25
b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng  D  sao cho khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (a )  bằng      2 .
M Î D Þ M (1+ t; -2 + t; 2 - 2t )
7t - 6
Þ d (M; (a )) =     2  Û                 =     2
3
Û  7t - 6  = 3   2
Û t = 6 ± 3 2
7
0,25
0,25
Vậy:
æ 13 + 3 2    -8 + 3 2 2 - 6 2 ö               æ 13 - 3 2    -8 - 3 2 2 + 6 2 ö
M ç                     ;                      ;                  ÷;       M ç                     ;                      ;                    ÷
ç                                                                 ÷               ç                                                                  ÷
7                    7                   7                                    7                    7                    7
è                                                                 ø               è                                                                  ø
0,25
Câu 4B
1,5đ
4
a) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = xe   ,   y = 0,   x = 0,   x = 1 . Tính
Gọi V là thể tích cần tìm ta có   V = πò x  e  .dx
x
2
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
1
2   x
0
ìïu = x
Þ du = 2xdx
x  e  .dx = π(x  ex	- 2
2	x	2	x
ìu = x	Þ du = dx
Tính  J  = ò x.e  .dx  Đặt  í
îdv = e  dx  Þ v = e
J  = ò x.e  .dx = x e
- ò e  .dx = 1
2
Đặt  í	x	x
ïîdv = e  dx  Þ v = e
1	1
1
V = πò	0	ò x.e  .dx)
0	0
= π(e   - 2J )
1
x
x	x
0
1	1
x	x   1	x
0
0	0

0,25
0,25
Vậy :

V  = p (e - 2)  (đvdt)                                          0,25
(1- i	3) = 2 êcos ç -	÷ + i sin ç -	÷ú
(1+ i) =	2 ç	÷
b) Viết số phức  z = (1- i	3)(1+ i)  dưới dạng lượng giác.
é	æ   p  ö	æ   p  öù
ë	è	3 ø	è	3 øû
æ	p	p  ö
cos	+ isin
è	4	4 ø

0,25
0,25
z = (1- i	3)(1+ i) = 2	2 êcos ç	÷	ç	÷ú
Vậy:
é        æ p  p  ö              æ p    p  öù
-         + i sin         -
ë        è 4      3 ø              è 4      3 øû

0,25
= 2	2 êcos ç	÷	ç	÷ú
ë
é	æ   p  ö	æ   p  öù
-	+ i sin	-
è	12 ø	è	12 øû
Câu 5B	1,5đ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  (a )  và đường thẳng  D  lần
lượt có phương trình là:  x + 2 y - 2z +1 = 0  và
x -1      y + 2
=              =
1              1
z - 2
-2

.
a) Chứng minh rằng đường   thẳng  D cắt mặt phẳng (a ) .
ï
5
ìx = 1+ t
ï
PTTS của  D   íy = -2 + t
î
ïz = 2 - 2t
Xét phương trình: ( 1 + t + 2(- 2 + t) - 2 ( 2 - 2t) + 1 = 0  Û  7t - 6 = 0 Û   t = 6
7
ì         13
ïx =  7
ï
ï         -8
Þ íy =
7
ï         2
î
ïz = 7

0,25
0,25
Vậy: Đường   thẳng  D cắt mặt phẳng (a ) tại  A ç	÷
è	ø	0,25
æ 13  8 2 ö
;-	;
7	7   7
b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng  D  sao cho khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (a )  bằng	2 .
M Î D Þ M (1+ t; -2 + t; 2 - 2t )
1+ t - 4 + 2t - 4 + 4t +1
Þ d (M;(a )) =	2 Û  	=	2
3
Û  7t - 6  = 3	2
0,25
0,25
Û t =
6 ± 3 2
7
ç	÷÷;
M çç	÷÷
è	ø	è	ø
æ 13 + 3 2	-8 + 3 2 2 - 6 2 ö	æ 13 - 3 2	-8 - 3 2 2 + 6 2 ö
Vậy:	M ç	;	;	;	;
7	7	7	7	7	7
Nếu học sinh làm bài không theo hướng dẫn chấm nhưng đúng vẫn cho đủ điểm theo từng câu.
------- HẾT-------
6

0,25