Đề 18 thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 môn thi: Toán

Trần Sĩ Tùng 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP 
HÀ NỘI 
Đề số 18 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 
x
y
x
2 1
1
-
=
-
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và 
B thỏa mãn OA = 4OB. 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: 
x x
x x
x x
sin cos 2 tan 2 cos2 0
sin cos
+
+ + =
-
 2) Giải hệ phương trình: 
ïî
ï
í
ì
=-++++
=-++++
011)1(
030)2()1(
22
3223
yyyxyx
xyyyxyyx
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = ò +
+1
0 1
1 dx
x
x
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA¢ = 
a 2 . M là điểm trên AA¢ sao cho AM AA
1 '
3
=
uuur uuur
. Tính thể tích của khối tứ diện MA¢BC¢. 
Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a b c 1+ + = . Chứng minh rằng: 
 .2
222
³
+
+
+
+
+
+
+
+
ba
ac
ac
cb
cb
ba
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C): x y x y2 2 – 8 – 4 –16 0+ = . Viết 
phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x y z2 5 0+ - + = . Lập 
phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng 5
6
. 
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt 
đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần? 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt 
là: x y2 – 5 0+ = và x y3 – 7 0+ = . Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; 3)- . 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D: x y z1 1
2 1 2
+ -
= =
-
. 
Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất. 
Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x a x5 5log (25 – log ) = 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y0 0( ; ) cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho OA = 4OB. 
 Do DOAB vuông tại O nên: OBA
OA
1tan
4
= = Þ Hệ số góc của d bằng 1
4
 hoặc 1
4
- . 
 Hệ số góc của d tại M là: y x
x
0 2
0
1( ) 0
( 1)
¢ = - <
-
 Þ y x0
1( )
4
¢ = - Û 
x 20
1 1
4( 1)
- = -
-
 Û 
x y
x y
0 0
0 0
31
2
53
2
é æ ö
= - =ç ÷ê è øê
æ öê = =ç ÷ê è øë
 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: y x1 3( 1)
4 2
= - + + hoặc y x1 5( 3)
4 2
= - - + 
Câu II: 1) Điều kiện: xcos2 0¹ . PT Û x x x x2 2(sin cos ) 2sin2 cos 2 0- + + + = Û x x2sin 2 sin2 0- = 
 Û x
x loaïi
sin 2 0
sin 2 1 ( )
é =
ê =ë
 Û x k
2
p
= . 
 2) Hệ PT Û xy x y x y x y
xy x y xy x y
2 2 2( ) ( ) 30
( ) 11
ì + + + =í
+ + + + =î
 Û xy x y x y xy
xy x y xy x y
( )( ) 30
( ) 11
ì + + + =
í + + + + =î
 Đặt x y u
xy v
ì + =
í =î
. Hệ trở thành uv u v
uv u v
( ) 30
11
ì + =
í + + =î
 Û uv uv
uv u v
(11 ) 30 (1)
11 (2)
ì - =
í + + =î
. Từ (1) Þ uv
uv
5
6
é =
ê =ë
 · Với uv = 5 Þ u v 6+ = . Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là: 5 21 5 21;
2 2
æ ö- +
ç ÷
è ø
 và 5 21 5 21;
2 2
æ ö+ -
ç ÷
è ø
 · Với uv = 6 Þ u v 5+ = . Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là: (1;2) và (2;1) 
 Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm: (1;2) , (2;1) , 5 21 5 21;
2 2
æ ö- +
ç ÷
è ø
, 5 21 5 21;
2 2
æ ö+ -
ç ÷
è ø
. 
Câu III: Đặt t x= Þ dx t dt2 .= . I = t tdt
t
1 3
0
2
1
+
+ò = t t dtt
1
2
0
22 2
1
æ ö
- + -ç ÷+è øò = 
11 4ln 2
3
- . 
Câu IV: Từ giả thiết suy ra DABC vuông cân tại B. Gọi H là trung điểm của AC thì BH ^ AC và BH ^ (ACC¢A¢). 
 Do đó BH là đường cao của hình chóp B.MA¢C¢ Þ BH = a2
2
. Từ giả thiết Þ MA¢ = a2 2
3
, A¢C¢ = a 2 . 
 Do đó: B MA C MA C
aV BH S BH MA A C
3
. ' ' ' '
1 1 2. . .
3 6 9
¢ ¢ ¢= = = . 
Câu V: Ta có: a b a b c b a b a
b c b c b c
2 (1 )+ - - + +
= = -
+ + +
. 
 Tương tự, BĐT trơt thành: a b b c c aa b c
b c c a a b
2+ + +- + - + - ³
+ + +
 Û a b b c c a
b c c a a b
3+ + ++ + ³
+ + +
 Theo BĐT Cô–si ta có: a b b c c a a b b c c a
b c c a a b b c c a a b
33 . . 3+ + + + + ++ + ³ =
+ + + + + +
. Dấu "=" xảy ra Û a b c 1
3
= = = . 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(4; 2) và bán kính R = 6. Ta có IE = 29 < 6 = R Þ E nằm trong hình tròn (C). 
 Giả sử đường thẳng D đi qua E cắt (C) tại M và N. Kẻ IH ^ D. Ta có IH = d(I, D) ≤ IE. 
 Như vậy để MN ngắn nhất thì IH dài nhất Û H º E Û D đi qua E và vuông góc với IE 
 Khi đó phương trình đường thẳng D là: x y5( 1) 2 0+ + = Û x y5 2 5 0+ + = . 
 2) Giả sử (S): x y z ax by cz d2 2 2 2 2 2 0+ + - - - + = . 
 · Từ O, A, B Î (S) suy ra: 
a
c
d
1
2
0
ì =ï
=í
ï =î
 Þ I b(1; ;2) . · d I P 5( ,( ))
6
= Û b 5 5
6 6
+
= Û b
b
0
10
é =
ê = -ë
 Vậy (S): x y z x z2 2 2 2 4 0+ + - - = hoặc (S): x y z x y z2 2 2 2 20 4 0+ + - + - = 
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: 1 2 3 4 5 6 7=x a a a a a a a (a1 ¹ 0). 
Trần Sĩ Tùng 
 · Giả sử 1a có thể bằng 0: 
 + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: 27C 
 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: 35C 
 + Số cách xếp cho 2 vị trí còn lại là: 2! 28C 
 · Bây giờ ta xét 1a = 0: 
 + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: 26C 
 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: 34C 
 + Số cách xếp cho 1 vị trí còn lại là: 7 
 Vậy số các số cần tìm là: 2 3 2 2 37 5 8 6 4. .2! . .7 11340- =C C C C C (số). 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) Gọi VTPT của AB là n1 (1;2)=
r , của BC là n2 (3; 1)= -
r , của AC là n a b3 ( ; )=
r với a b2 2 0+ ¹ . 
 Do DABC cân tại A nên các góc B và C đều nhọn và bằng nhau. 
 Suy ra: B Ccos cos= Þ 
n n n n
n n n n
1 2 3 2
1 2 3 2
. .
. .
=
r r r r
r r r r Û 
a b
a b2 2
1 3
5
-
=
+
 Û a b ab2 222 2 15 0+ - = Û a b
a b
2
11 2
é =
ê =ë
 · Với a b2 = , ta có thể chọn a b1, 2= = Þ n3 (1;2)=
r Þ AC // AB Þ không thoả mãn. 
 · Với a b11 2= , ta có thể chọn a b2, 11= = Þ n3 (2;11)=
r 
 Khi đó phương trình AC là: x y2( 1) 11( 3) 0- + + = Û x y2 11 31 0+ + = . 
 2) PTTS của D: 
x t
y t
z t
1 2
1
2
ì = - +ï
= -í
ï =î
. Gọi M t t t( 1 2 ;1 ;2 )- + - Î D. 
 Diện tích DMAB là S AM AB t t21 , 18 36 216
2
é ù= = - +ë û
uuur uuur
= t 218( 1) 198- + ≥ 198 
 Vậy Min S = 198 khi t 1= hay M(1; 0; 2). 
Câu VII.b: PT Û x xa525 log 5- = Û 
x x a2 55 5 log 0- - = Û 
xt t
t t a2 5
5 , 0
log 0 (*)
ì = >ï
í
- - =ïî
 PT đã cho có nghiệm duy nhất Û (*) có đúng 1 nghiệm dương Û t t a2 5log- = có đúng 1 nghiệm dương. 
 Xét hàm số f t t t2( ) = - với t Î [0; +∞). Ta có: f t t( ) 2 1¢ = - Þ f t t 1( ) 0
2
¢ = Û = . f 1 1
2 4
æ ö
= -ç ÷
è ø
, f (0) 0= . 
 Dựa vào BBT ta suy ra phương trình f t a5( ) log= có đúng 1 nghiệm dương Û 
a
a
5
5
log 0
1log
4
é ³
ê
ê = -
ë
 Û 
a
a
4
1
1
5
é ³
ê
=ê
êë
. 
=====================