Đề 04 Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2010 môn thi: Toán – Khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 
 Môn Thi: TOÁN – Khối A 
 ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề 
I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I. (2,0 điểm)Cho hµm sè : 323 m
2
1
mx
2
3
xy  
 1/ Kh¶o s¸t hµm sè víi m=1. 
 2/ X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã cùc ®¹i,cùc tiÓu ®èi xøng víi nhau qua ®t: y=x 
Câu II. (2,5 điểm) 1. 2 2 3 3tan tan .sin cos 1 0x x x    
 2. Cho PT: 25 1 5 6x x x x m        (1) 
 a)Tìm m để PT(1)có nghiệm 
 b)Giải PT khi  2 1 2m   
Câu III. (1,5 điểm) a) Tính tích phân I=  
4 3
41 1
dx
x x  
Câu IV. (1,0 điểm) Tính góc của Tam giác ABC bíêt: 2A=3B; 2
3
a b 
 II.PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai câu(Va hoặcVb) 
Câu Va. 
 1(2,0 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vuông 
góc với mặt phẳng (Q) : x y z 0   và cách điểm M(1;2; 1 ) một khoảng bằng 2 . 
 2. (1,0 điểm)Có 6 học sinh nam và 3học sinh nử xếp hàng dọc đi vào lớp.Hỏi có bao nhiêu cãch xếp 
để có đúng 2HS nam đứng xen kẻ 3HS nử 
Câu Vb. 1 (2,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : 
x 2 4t
y 3 2t
z 3 t
  

 
   
 và mặt phẳng (P) : x y 2z 5 0     
 Viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . 
 2.(1,0 điểm) Giải PT: 
2 1 1 15.3 7.3 1 6.3 9 0x x x x       
HƯỚNG DẨN GIẢI 
Câu I. 1/ Kh¶o s¸t hµm sè:
2
1
x
2
3
xy 23  
1-TËp x¸c ®Þnh:R 
2-Sù biÕn thiªn. 
a-ChiÒu biÕn thiªn: 





0x
1x
0x3x3'y
2
12 
Hµm sè ®ång biÕn ( ;0) vµ (1; )  ;Hµm sè nghÞch biÕn )1;0( 
b-Cùc trÞ:Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i :
2
1
y0x  
 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i : 0y1x  
c-Giíi h¹n: : 3 2 3 2
x x
3 1 3 1
lim (x x ) ; lim (x x )
2 2 2 2 
        
d-B¶ng biÕn thiªn: : x - 0 1 + 
 y’ + 0 - 0 + 
 y 
2
1
 + 
 - 0 
e-TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn:
2
1
x03x6''y  
B¶ng xÐt dÊu y’’: x - 1/2 + 
 y’’ - 0 + 
 §T låi §U(
2
1
;
4
1
) lâm 
3-§å thÞ: 
§å thÞ nhËn ®iÓm uèn I(
4
1
;
2
1
) lµm t©m ®èi xøng 
Giao ®iÓm víi trôc Ox: (1;0) 
2/Tacã 





mx
0x
0)mx(x3mx3x3'y 2 
ta thÊy víi 0m  th× y’ ®æi dÊu khi ®i qua c¸c nghiÖm do vËy hµm sè cã C§,CT 
+NÕu m>0 hµm sè cã C§ t¹i x=0 vµ 3MAX m2
1
y  ;cã CT t¹i x=m vµ 0y MIN  
+NÕu m<0 hµm sè cã C§ t¹i x=m vµ 0y MAX  ;cã CT t¹i x=0 vµ 
3
MIN m2
1
y  
2
-2
1o
y
x
Gäi A vµ B lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè.§Ó A vµ B ®èi xøng víi nhau qua ®­êng ph©n gi¸c y=x,®iÒu kiÖn 
¾t cã vµ ®ñ lµ OBOA  tøc lµ: 2m2mm
2
1
m 23  
Câu V.a ( 2,0 điểm ) : Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 
 với 2 2 2A B C 0   
 Vì (P)  (Q) nên 1.A+1.B+1.C = 0  A+B+C = 0 C A B   (1) 
 Theo đề : 
 d(M;(P)) = 2
A 2B C 2 2 2 22 (A 2B C) 2(A B C )
2 2 2A B C
 
       
 
 (2) 
 Thay (1) vào (2) , ta được : 8AB+5
8A2B 0 B 0 hay B =
5
    
  
(1)B 0 C A . Cho A 1,C 1       thì (P) : x z 0  
  
8AB =
5
 . Chọn A = 5 , B = 1 (1) C 3  thì (P) : 5x 8y 3z 0   
CâuVb-1 Chọn A(2;3; 3),B(6;5; 2)(d) mà A,B nằm trên (P) nên (d) nằm trên (P) . 
Gọi u

vectơ chỉ phương của ( d1) qua A và vuông góc với (d) thì 
u ud
u uP
 
 
 
  
nên ta chọn u [u, u ] (3; 9;6) 3(1; 3;2)P    
  
 . Ptrình của đường thẳng ( d1) :
 
   
   
x 2 3t
y 3 9t (t R)
z 3 6t
 ( ) là đường thẳng qua M và song song với (d ). Lấy M trên ( d1) thì M(2+3t;3 9t;3+6t) . 
 Theo đề : 
1 12 2 2 2AM 14 9t 81t 36t 14 t t
9 3
          
+ t = 1
3
 M(1;6; 5) 
x 1 y 6 z 5( ) :1 4 2 1
  
    
 + t = 1
3
M(3;0; 1) 
x 3 y z 1( ) :2 4 2 1
 
    
®¸p ¸n ®Ò số 5 thi thö ®¹i häc lÇn 1 khèi a – m«n to¸n 
I.PhÇn dµnh cho tÊt c¶ c¸c thÝ sÝnh 
C©u §¸p ¸n §iÓm 
1. (1,25 ®iÓm) 
I a.TX§: D = R\{-2} 
b.ChiÒu biÕn thiªn 
+Giíi h¹n: 
  22
lim;lim;2limlim
xxxx
yyyy 
Suy ra ®å thÞ hµm sè cã mét tiÖm cËn ®øng lµ x = -2 vµ mét tiÖm cËn ngang lµ y = 2 
0,5 
+ Dx
x
y 

 0
)2(
3' 2 
Suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng )2;(  vµ );2(  
0,25 
+B¶ng biÕn thiªn 
 x  -2  
 y’ + + 
  2 
 y 
 2  
0,25 
c.§å thÞ: 
§å thÞ c¾t c¸c trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 
2
1
) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm(
2
1
 ;0) 
§å thÞ nhËn ®iÓm (-2;2) lµm t©m ®èi xøng 
0,25 
2. (0,75 ®iÓm) 
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (C ) vµ ®­êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 








)1(021)4(
2
2
12
2 mxmx
x
mx
x
x
Do (1) cã mmmvam  0321)2).(4()2(01 22 nªn ®­êng 
th¼ng d lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B 
0,25 
(2 
®iÓm) 
Ta cã yA = m – xA; yB = m – xB nªn AB
2 = (xA – xB)
2 + (yA – yB)
2 = 2(m2 + 12) suy ra 
AB ng¾n nhÊt  AB2 nhá nhÊt  m = 0. Khi ®ã 24AB 
0,5 
1. (1 ®iÓm) 
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8 
 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0 
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 
0,5 
II 
(2 
®iÓm) 
 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 
 




)(07sin2cos6
0sin1
VNxx
x
0,25 
x 
y 
O 
2 
-2 
  2
2
kx  
0,25 
2. (1 ®iÓm) 
§K: 





03loglog
0
2
2
2
2 xx
x
BÊt ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 
)1()3(log53loglog 2
2
2
2
2  xxx 
®Æt t = log2x, 
BPT (1)  )3(5)1)(3()3(5322  tttttt 
0,5 























4log3
1log
43
1
)3(5)3)(1(
3
1
2
2
2 x
x
t
t
ttt
t
t
0,25 







168
2
10
x
x
 VËy BPT ®· cho cã tËp nghiÖm lµ: )16;8(]
2
1;0(  
  xx
dx
xxx
dxI 23233 cos.2sin
8
cos.cos.sin
®Æt tanx = t 
dt
t
t
t
t
dtI
t
tx
x
dxdt
 






3
32
3
2
22
)1(
)
1
2(
8
1
22sin;
cos
0,5 
 III 
1 ®iÓm 
C
x
xxxdtt
t
tt
dt
t
ttt






2
2433
3
246
tan2
1tanln3tan
2
3tan
4
1)33(
133
0,5 
Do )( 111 CBAAH  nªn gãc HAA1 lµ gãc gi÷a AA1 vµ (A1B1C1), theo gi¶ thiÕt 
th× gãc HAA1 b»ng 30
0. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA1 cã AA1 = a, gãc HAA1 =30
0 
2
3
1
aHA  . Do tam gi¸c A1B1C1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ 
2
3
1
aHA  nªn A1H vu«ng gãc víi B1C1. MÆt kh¸c 11CBAH  nªn 
)( 111 HAACB  
0,5 
KÎ ®­êng cao HK cña tam gi¸c AA1H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA1 vµ 
B1C1 
0,25 
C©u IV 
1 ®iÓm 
Ta cã AA1.HK = A1H.AH 4
3.
1
1 a
AA
AHHAHK  
0,25 
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho 2005 sè 1 vµ 4 sè a2009 ta cã 
)1(.2009....20091...11 42009 20092009200920092009200920092009
2005
aaaaaaaaa  
T­¬ng tù ta cã 
)2(.2009....20091...11 42009 20092009200920092009200920092009
2005
bbbbbbbbb  
)3(.2009....20091...11 42009 20092009200920092009200920092009
2005
ccccccccc  
0,5 
C©u V 
1 ®iÓm 
Céng theo vÕ (1), (2), (3) ta ®­îc 
)(20096027
)(2009)(46015
444
444200920092009
cba
cbacba


Tõ ®ã suy ra 3444  cbaP 
MÆt kh¸c t¹i a = b = c = 1 th× P = 3 nªn gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 3. 
0,5 
PhÇn riªng. 
A1 
A B 
C 
C
B1 
K 
H 
1.Ban c¬ b¶n 
1.( 1 ®iÓm) 
Tõ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®­îc 2 tiÕp 
tuyÕn AB, AC tíi ®­êng trßn vµ ACAB  => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 
3 23 IA 
0,5 








7
5
6123
2
1
m
m
m
m
0,5 
2. (1 ®iÓm) 
Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng 
c¸ch gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). 
Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã HIAH  => HI lín nhÊt khi IA  
VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. 
0,5 
C©u 
VIa 
2 
®iÓm 
)31;;21( tttHdH  v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn 
)3;1;2((0.  uuAHdAH lµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña d) 
)5;1;7()4;1;3(  AHH VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 
 7x + y -5z -77 = 0 
0,5 
Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã 624 C c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (v× kh«ng cã sè 0)vµ 
1025 C c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã 
2
5C .
2
5C = 60 bé 4 sè tháa m·n bµi to¸n 
0,5 C©u 
VIIa 
1 
®iÓm Mçi bé 4 sè nh­ thÕ cã 4! sè ®­îc thµnh lËp. VËy cã tÊt c¶ 24C .
2
5C .4! = 1440 sè 0,5 
 2.Ban n©ng cao. 
1.( 1 ®iÓm) 
Tõ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®­îc 2 tiÕp 
tuyÕn AB, AC tíi ®­êng trßn vµ ACAB  => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 
3 23 IA 
0,5 








7
5
6123
2
1
m
m
m
m
0,5 
2. (1 ®iÓm) 
Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch 
gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). 
Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã HIAH  => HI lín nhÊt khi IA  
VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. 
0,5 
C©u 
VIa 
2 
®iÓm 
)31;;21( tttHdH  v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn 
)3;1;2((0.  uuAHdAH lµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña d) 
)5;1;7()4;1;3(  AHH VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 
 7x + y -5z -77 = 0 
0,5 
Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã 1025 C c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (kÓ c¶ sè cã ch÷ sè 0 
®øng ®Çu) vµ 35C =10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã 
2
5C .
3
5C = 100 bé 5 sè ®­îc chän. 
0,5 C©u 
VIIa 
1 
®iÓm Mçi bé 5 sè nh­ thÕ cã 5! sè ®­îc thµnh lËp => cã tÊt c¶ 25C .
3
5C .5! = 12000 sè. 
MÆt kh¸c sè c¸c sè ®­îc lËp nh­ trªn mµ cã ch÷ sè 0 ®øng ®Çu lµ 960!4.. 35
1
4 CC . VËy 
0,5 
cã tÊt c¶ 12000 – 960 = 11040 sè tháa m·n bµi to¸n