Chuyên đề Toán học: Giới hạn, đạo hàm, vi phân

Chuyên đề tốn học : giới hạn, đạo hàm, 
vi phân 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 1 
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 
1. Các giới hạn đặc biệt: 
 a) 
®
=
x 0
sin xlim 1
x
 Hệ quả: 
®
=
x 0
xlim 1
sin x
®
=
u(x) 0
sin u(x)lim 1
u(x)
®
=
u(x) 0
u(x)lim 1
sin u(x)
 b) 
x
x
1lim 1 e, x R
x®¥
ỉ ư+ = Ỵç ÷
è ø
 Hệ quả: 
1
x
x 0
lim (1 x) e.
®
+ = 
x 0
ln(1 x)lim 1
x®
+
= 
x
x 0
e 1lim 1
x®
-
= 
2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: 
(c)’ = 0 (c là hằng số) 
1(x )' xa a-= a 1(u ) ' u u 'a a-= a 
2
1 1'
x x
ỉ ư = -ç ÷
è ø
 2
1 u''
u u
ỉ ư = -ç ÷
è ø
( ) 1x '
2 x
= ( ) u'u '
2 u
= 
x x(e )' e= u u(e )' u'.e= 
x x(a )' a .ln a= u u(a ) ' a .lna . u '= 
1(ln x )'
x
= u'(ln u )'
u
= 
a
1(log x ')
x.ln a
= a
u'(log u )'
u.ln a
= 
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 
2
2
1(tgx)' 1 tg x
cos x
= = + 22
u'(tgu)' (1 tg u).u'
cos u
= = + 
2
2
1(cot gx) ' (1 cot g x)
sin x
-
= = - + 22
u'(cot gu)' (1 cot g u).u'
sin u
-
= = - + 
3. Vi phân: 
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x (a; b)Ỵ . Cho số 
gia Dx tại x sao cho x x (a; b)+ D Ỵ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của 
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). 
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx 
 Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, thì 
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx 
 Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 2 
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 
1. Định nghĩa: 
 Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x 
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). 
 Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: 
F '(a ) f(x) và F '(b ) f(b)+ -= = 
2. Định lý: 
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : 
 a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên 
khoảng đó. 
 b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể 
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. 
 Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f (x)dx.ị Do 
đó viết: 
f(x)dx F(x) C= +ị 
 Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 
3. Các tính chất của nguyên hàm: 
 · ( )f(x)dx ' f(x)=ị 
 · af(x)dx a f(x)dx (a 0)= ¹ị ị 
 · [ ]f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx+ = +ị ị ị 
 · [ ] [ ]f(t)dt F(t) C f u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x))= + Þ = + = + =ị ị 
4. Sự tồn tại nguyên hàm: 
· Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 
§Bài 1: NGUYÊN HÀM 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 3 
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM 
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp 
thường gặp 
Nguyên hàm của các hàm số hợp 
(dưới đây u = u(x)) 
dx x C= +ị du u C= +ị 
1xx dx C ( 1)
1
a+
a = + a ¹ -
a +ị 
1uu du C ( 1)
1
a+
a = + a ¹ -
a +ị 
dx ln x C (x 0)
x
= + ¹ị 
du ln u C (u u(x) 0)
u
= + = ¹ị 
x xe dx e C= +ị u ue du e C= +ị 
x
x aa dx C (0 a 1)
lna
= + < ¹ị 
u
u aa du C (0 a 1)
lna
= + < ¹ị 
cosxdx sin x C= +ị cos udu sin u C= +ị 
sin xdx cosx C= - +ị sin udu cos u C= - +ị 
2
2
dx (1 tg x)dx tgx C
cos x
= + = +ị ị 22
du (1 tg u)du tgu C
cos u
= + = +ị ị 
2
2
dx (1 cot g x)dx cot gx C
sin x
= + = - +ị ị 22
du (1 cot g u)du cot gu C
sin u
= + = - +ị ị 
dx x C (x 0)
2 x
= + >ị 
du u C (u 0)
2 u
= + >ị 
1cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)
a
+ = + + ¹ị 
1sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)
a
+ = - + + ¹ị 
dx 1 ln ax b C
ax b a
= + +
+ị 
ax b ax b1e dx e C (a 0)
a
+ += + ¹ị 
dx 2 ax b C (a 0)
aax b
= + + ¹
+ị 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 4 
Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) 
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ 
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: 
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) 
 Xác định F’(a+) 
 Xác định F’(b–) 
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng 
F '(x) f(x), x (a ; b)
F '(a ) f(a)
F '(b ) f(b)
+
-
= " Ỵì
ï =í
ï =ỵ
Ví dụ 1: CMR hàm số: 2F(x) ln(x x a)= + + với a > 0 
 là một nguyên hàm của hàm số 
2
1f(x)
x a
=
+
 trên R. 
Giải: 
Ta có: 
2 2
2
2 2
2x1
(x x a)' 2 x aF '(x) [ln(x x a)]'
x x a x x a
+
+ + += + + = =
+ + + +
2
2 2 2
x a x 1 f(x)
x a(x x a) x a
+ +
= = =
+ + + +
Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. 
Ví dụ 2: CMR hàm số: 
x
2
e khi x 0
F(x)
x x 1 khi x 0
ì ³ï= í
+ + <ïỵ
 Là một nguyên hàm của hàm số 
xe khi x 0
f(x)
2x 1 khi x 0
ì ³
= í
+ <ỵ
 trên R. 
Giải: 
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: 
a/ Với x 0¹ , ta có: 
xe khi x 0
F '(x)
2x 1 khi x 0
ì >
= í
+ <ỵ
b/ Với x = 0, ta có: 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 5 
· Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0. 
2 0
x 0 x 0
F(x) F(0) x x 1 eF '(0 ) lim lim 1.
x 0 x- -
-
® ®
- + + -
= = =
-
· Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0. 
x 0
x 0 x 0
F(x) F(0) e eF '(0 ) lim lim 1.
x 0 x+ +
+
® ®
- -
= = =
-
 Nhận xét rằng F '(0 ) F '(0 ) 1 F '(0) 1.- += = Þ = 
 Tóm lại: 
xe khi x 0
F '(x) f(x)
2x 1 khi x 0
ì ³
= =í
+ <ỵ
 Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. 
Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 
trên (a ; b). 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) 
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: 
 F '(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ 
 Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trị tham số. 
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: 
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) 
 Xác định F’(a+) 
 Xác định F’(b–) 
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: 
F '(x) f(x), x (a ; b)
F '(a ) f(a)
F '(b ) f(b)
+
-
= " Ỵì
ï =í
ï =ỵ
 Þ giá trị của tham số. 
Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
· Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C 
· Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. 
 Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 6 
Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: 
2x khi x 1
F(x)
ax b khi x 1
ì £
= í
+ >ỵ
 là một nguyên hàm của hàm số: 
2x khi x 1
f(x)
2 khi x 1
£ì
= í >ỵ
 trên R. 
Giải: 
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: 
a/ Với x 1¹ , ta có: 
2x khi x 1
F '(x)
2 khi x 1
<ì
= í >ỵ
b/ Với x = 1, ta có: 
 Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do 
đó : 
x 1 x 1
lim F(x) lim F(x) f(1) a b 1 b 1 a (1)
- +® ®
= = Û + = Û = - 
 · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 
2
x 1 x 1
f(x) F(1) x 1F'(1) = lim lim 2.
x 1 x 1-® ®
- -
= =
- -
 · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0. 
x 1 x 1 x 1
F(x) F(1) ax b 1 ax 1 a 1F '(1 ) lim lim lim a.
x 1 x 1 x 1+ + +
+
® ® ®
- + - + - -
= = = =
- - -
 Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F '(1 ) F '(1 ) a 2.- +Û = Û = (2) 
 Thay (2) vào (1), ta được b = –1. 
 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. 
 Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) 
 Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). 
Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: -= + +2 2xF(x) (ax bx c)e là một nguyên hàm của 
2 2xF(x) (2x 8x 7)e-= - - + trên R. 
Giải: 
Ta có: 2x 2 2xF '(x) (2ax b)e 2(ax bx c)e- -= + - + + 2 2x2ax 2(a b)x b 2c e-é ù= - + - + -ë û 
Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R 
 F '(x) f(x), x RÛ = " Ỵ 
 Û - + - + - = - + - " Ỵ2 22ax 2(a b)x b 2c 2x 8x 7, x R 
a 1 a 1
a b 4 b 3
b 2c 7 c 2
= =ì ì
ï ïÛ - = Û = -í í
ï ï- = - =ỵ ỵ
Vậy -= - +2 2xF(x) (x 3x 2)e . 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 7 
BÀI TẬP 
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số xF(x) ln tg
2 4
pỉ ư= +ç ÷
è ø
 Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1f(x)
cos x
= . 
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 
2ln(x 1) , x 0F(x) x
0 ,x 0
ì +
¹ï= í
ï =ỵ
 là một nguyên hàm của hàm số 
2
2 2
2 ln(x 1) , x 0f(x) x 1 x
1 , x 0
ì +
- ¹ï= +í
ï =ỵ
Bài 3. Xác định a, b, c sao cho hàm số 2 xF(x) (ax bx c).e-= + + là một nguyên hàm của 
hàm số 2 xf(x) (2x 5x 2)e-= - + trên R. 
ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. 
Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 
3 2
2
x 3x 3x 7F(x) của f(x) và F(0) 8.
(x 1)
+ + -
= =
+
 b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2 xf(x) sin và F .
2 2 4
p pỉ ư= =ç ÷
è ø
ĐS: a/ 
2x 8F(x) x ;
2 x 1
= + +
+
 b/ 1F(x) (x sin x 1)
2
= - + 
Bài 5. a/ Xác định các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 
 2F(x) (ax bx c) 2x 3= + + - là một nguyên hàm của hàm số: 
220x 30x 7 3f(x) trên khoảng ;
22x 3
- + ỉ ư= + ¥ç ÷
è ø-
 b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. 
ĐS: a/ a 4; b 2; c 1;= = - = b/ 2G(x) (4x 2x 10) 2x 3 22.= - + - - 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 8 
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG 
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 
Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dx F(x) C= +ị thì 
1f(ax b)dx F(ax b) C với a 0.
a
+ = + + ¹ị 
Giải: 
Ta luôn có: 1f(ax b)dx f(ax b)d(ax b) với a 0.
a
+ = + + ¹ 
Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 1f(ax b)dx (ax b)d(ax b) F(ax b) C (đpcm)
a a
+ = + + + +ị ị . 
Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: 
 f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C, với u u(x)= + Þ = + =ị ị 
Ví dụ 2: Tính các tích phân bất định sau: 
 a/ 3(2x 3) dx+ị b/ 4cos x.sin xdxị c/
x
x
2e dx
e 1+ị d/
2(2 ln x 1) dx
x
+
ị 
Giải: 
a/ Ta có: 
4 4
3 31 1 (2x 3) (2x 3)(2x 3) dx (2x 3) d(2x 3) . C C.
2 2 4 8
+ +
+ = + + = + = +ị ị 
b/ Ta có: 
5
4 4 cos xcos x.sin xdx cos xd(cos x) C
5
= - = - +ị ị 
c/ Ta có: 
x x
x
x x
2e d(e 1)dx 2 2 ln(e 1) C
e 1 e 1
+
= = + +
+ +ị ị 
d/ Ta có: 
2
2 3(2 ln x 1) 1 1dx (2 ln x 1) d(2 ln x 1) (2 ln x 1) C.
x 2 2
+
= + + = + +ị ị 
Ví dụ 3: Tính các tích phân bất định sau: 
 a/ 2 x2sin dx
2ị b/
2cot g xdxị c/ tgxdxị d/ 3
tgx dx
cos xị 
Giải: 
a/ Ta có: 2 x2sin dx (1 cosx)dx x sin x C
2
= - = - +ị ị 
b/ Ta có: 2 2
1cot g xdx 1 dx cot gx x C
sin x
ỉ ư= - = - - +ç ÷
è øị ị 
c/ Ta có: sin x d(cosx)tgxdx dx ln cosx C
cosx cosx
= = - = - +ị ị ị 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 9 
d/ Ta có: 33 4 4 3
tgx sin x d(cosx) 1 1dx dx cos x C C.
cos x cos x c ... a, y b (a b)= = = = < sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công 
thức: 
b b
2 2
a a
V x .dy [f(y)] .dy= p = pị ị 
 Diện tích: 
b
a
S f(y) dy.= ị Thể tích: 
b
2
a
V [f(y)] .dy= pị 
y 
x b a 
(H) 
(C) 
y 
x 
(H) 
(C) 
a b 
y 
x 
b 
a 
(H) 
(C) 
0 
y 
x 
(C) 
a 
b 
0 
§Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 145 
Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 
1 2(C ) : y f(x), (C ) : y g(x), x a, x b (a b)= = = = < với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi 
quay quanh trục Ox được tính bởi: 
b
2 2
a
V f (x) g (x) .dx= p -ị (3) 
* f(x) và g(x) cùng dấu có nghĩa là hai phần đồ thị cùng nằm một phía đối với trục Ox, 
với mọi x Ỵ đoạn [a; b]. 
* Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau: 
TH1: 1 2(C ) (C ) và f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Ỉ > ³ " Ỵ 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị 
TH2: 1 2(C ) (C ) và f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Ỉ < £ " Ỵ 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị 
TH3: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có hoành độ 
 x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0, x [a; b]:" Ỵ 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị 
TH4: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có hoành độ 
 x = a và f(x) < g(x) £ 0, x [a; b]:" Ỵ 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị 
y 
x 0 
(H) 
a b 
(C2) 
(C1) 
y 
y 
x 
0 
(H) 
a b 
(C1) 
(C2) 
y 
y 
x 
(H) A B 
a b 0 
(C2) 
(C1) 
y 
x 
(H) A B 
a b 
0 
(C2) 
(C1) 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 146 
TH5: 1 2(C ) cắt (C ) tại 3 điểm A, B, C, trong đó xA = a 
 xB = b, xC = c với a < c < b như hình bên: 
 1 2(3) V V VÛ = + 
c b
2 2 2 2
a c
[f (x) g (x)]dx [g (x) f (x)]dx.= p - + p -ị ị 
Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 
1 2(C ) : x f(y), (C ) : x g(y), y a, y b (a b)= = = = < với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi 
quay quanh trục Oy được tính bởi: 
b
2 2
a
V f (y) g (x) .dy= p -ị (4) 
TH1: 1 2 1 2(C ) (C ) và x f(y) x g(y) 0,Ç =Ỉ = > = ³ 
 với mọi y [a; b].Ỵ 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ị 
TH3: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có tung độ 
 A By a y b= = ³ 
 với mọi y [a; b].Ỵ 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ị 
* Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3. 
Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2 = 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích 
khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên: 
 a/ quanh trục hoành 
 b/ quanh trục tung. 
Giải: 
a/ 2(P): y 8x (P) : y 8x (x 0)= Û = ± ³ 
 Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh 
trục Ox là: 
y 
x 
C 
(C1) 
(C2) 
V2 V1 
A 
a c b 
B 
y 
x2 (H) 
C2 C1 
b 
a A 
B 
x1 
x 
(H) x1 x2 
y 
x 0 
C2 C1 
a 
b 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 147 
2 2
2
0 0
V y .dx 8x.dx 16= p = p = pị ị (đvtt). 
b/ 2 21(P) : y 8x x y
8
= Û = 
 Thể tích V khối ... quanh trục tung là: 
24 4
2 2 2 4
1 4
1 1 899V 2 y du 2 y dy ...
8 64 32- -
pỉ ư ỉ ư= p - = p - = =ç ÷ ç ÷
è ø è øị ị (đvtt). 
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) : 2y 2x x= - . Tính 
thể tích của khối tròn xoay khi cho (H) 
 a/ quay quanh trục hoành 
 b/ quay quanh trục tung. 
Giải: 
a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là: 
2 2
2 2 2
0 0
16V y .dx (2x x ) dx ...
15
p
= p = p - = =ị ị (đvtt). 
b/ 2 2(P) : y 2x x x 2x y 0 (1)= - Û - + = 
 1 1
2 2
' 1 y 0 0 y 1
x 1 1 y, (0 x 1)
(1)
x 1 1 y, (1 x 2)
D = - ³ Û £ £
é = - - £ £
Û ê
ê = + - £ £ë
 Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là: 
1 1 1
2 2
2 1 2 1 2 1
0 0 0
8V (x x )dy (x x )(x x )dy 2(2 1 y)dy ... .
3
p
= p - = p + - = p - = =ị ị ị 
Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: 
2
2x y 1
4
+ = quay quanh trục hoành. Tính thể tích của 
khối tròn xoay được tạo nên. 
Giải: 
2 2
2 2 2x x 1(E) : y 1 y 1 y 4 x , (| x | 2)
4 4 2
+ = Û = - Û = ± - £ 
Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: 
2 2
2 2
2 2
8V y .dx (4 x ).dx ...
4 3- -
p p
= p = - = =ị ị (đvtt). 
Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y x, y 2 x= = - và y = 0. 
 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy. 
Giải: 
y 
x 0 
–1 
2 –2 
1 
y 
x 2 1 0 
(H) 
1 (P) 
x2 
x1 
x 
y 
4 
0 
–
x = 2 
2 
(P) 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 148 
· 1y x x x 2= Û = = 
· 2y 2 x x x 2 y.= - Û = = - 
· Thể tích vật thể tròn xoay 
khi quay (D) quanh trục Oy là: 
1 1
2 2 2 2 2
2 1
0 0
V (x x )dy [(2 y) (y ) ]= p - = p - -ị ị 
 32
15
p
= (đvtt). 
BÀI TẬP 
Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn 
bởi các đường: 
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ 2x y 5 0; x y 3 0.+ - = + - = 
c/ 2y x ; y x.= = d/ 2 2y x 4x 6; y x 2x 6.= - + = - - + 
e/ 2y x(x 1) .= - f/ xy x.e ; x 1; y 0 (0 x 1)= = = £ £ 
g/ x x 2y e ; y ; x 0; x 2.- += = = = h/ 3y x ln(1 x ); x 1.= + = 
i/ 2(P) : y x (x 0), y 3x 10; y 1= > = - + = (miền (D)) nằm ngoài (P)). 
k/ 4 4y cos x sin x; y 0; x ; x .
2
p
= + = = = p 
ĐS: a/ 22 (ln 2 1) ;p - b/ 153 ;
5
p c/ 3 ;
10
p 
 d/ 3p e/ .
105
p f/ 
2(e 1) ;
4
p - 
 g/ 2 2(e 1) ;p - h/ (2 ln 2 1).
3
p
- i/ 56 .
5
p k/ 
23 .
8
p 
Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình 
phẳng giới hạn bởi các đường: 
a/ 2y x ; y 1; y 2.= = = . b/ 2 2y x ; x y .= = 
c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2. 
ĐS: a/ 3 ;
2
p b/ 3 ;
10
p c/ 224 .p 
Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong 1y ;
x
= trục Ox; x = 1 và x = t 
a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox. 
b/ Tính: 
t
lim S(t)
®+¥
 và 
t
lim V(t).
®+¥
y 
x 4 2 1 0 
1 
2 
y x= 
y 2 x= - 
A 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 149 
ĐS: a/ S(t) ln t; V(t) ;
t
p
= = p - b/ 
t t
lim S(t) ; lim V(t)
®+¥ ®+¥
= +¥ = p 
Bài 21. Cho miền (D) giới hạn bởi đường tròn (C): 2 2x y 8+ = và parabol (p): 2y 2x.= 
a/ Tính diện tích S của (D). 
b/ Tính thể tích V sinh bởi (D) khi quay quanh Ox. 
ĐS: a/ 4 2 .
3
- p b/ 4 (8 2 7).
3
p
- 
Bài 22. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay các đường: 
a/ 
2 / 3xy b (0 x a)
a
ỉ ư= £ £ç ÷
è ø
 quanh trục Ox. 
b/ y sin x; y 0 (0 x )= = £ £ p 
 a/ quanh trục Ox b/ quanh trục Oy. 
c/ 
2x xy b ; y b
a a
ỉ ư= =ç ÷
è ø
 a/ quanh trục Ox. b/ Quanh trục Oy. 
d/ xy e ; y 0 (0 x )-= = £ < +¥ quanh trục Ox và Oy. 
ĐS: a/ 23 ab ;
7
p 
 b/ 
2
x/ V ;2
p
a = 2y/ V 2 .b = p 
 c/ 2x
4/ V ab ;
15
a = p 
2
y
ab/ V .
6
p
b = 
 d/ x/ V ;2
p
a = y/ V 2 .b = p 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 150 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
a/ 
2
2
2 x .dx;
-
+ị b/ 
1 2
2
0
x dx ;
4 x-
ị 
c/ 
2 2
1
x 1 dx;
x
-
ị d/ 
1
2 3
0
dx ;
(1 x )+
ị 
e/ 
1 2
2 2
0
x dx ;
(x 1)+ị f/ 
/ 4
2
0
x dx;
cos x
p
ị 
g/ 
/ 2
x
0
e .cos xdx;
p
ị h/ 
/ 4 4 4
x
/ 4
sin x cos xdx;
3 1
p
-p
+
+ị 
i/ 
0
cos2x.dx ;
sin x cosx 2
p
+ +ị k/ 
5 /12
2
/12
dx ;
sin 2x 2 3 cos x 2 3
p
p + + -
ị 
ĐS: a/ 8 (4 2);
3
- b/ 3 ;
3 2
p
- c/ 3 ;
3
p
- d/ 2 ;
2
 e/ 1 1 ln 2;
4 4
- + f/ 2ln ;
4 2
p
+ g/ / 21 (e 1);
2
p - h/ 3 ;
16
p 
 i/ 2ln3 – 2; k/ 3 .
4
Bài 2. Biết 2
2)x 1), x 0
f(x)
K(1 x ), x 0
- + £ì
= í
- >ỵ
. Tìm giá trị K để 
1
1
f(x).dx 1.
-
=ị 
ĐS: K = 3. 
Bài 3. a/ Cho hàm số 
2x
x
e
e
f(x) t.ln t.dt.= ị Tìm hoành độ điểm cực đại x. 
b/ Tìm giá trị 3x 0;
2
pỉ ưỴç ÷
è ø
 để hàm số 
2x
x
sin tf(x) dt
t
= ị đạt cực đại. 
ĐS: a/ x ln 2.= - b/ x .
3
p
= 
Bài 4. Cho hàm số 
x
2
0
2t 1f(x) dt, 1 x 1.
t 2t 2
+
= - £ £
- +ị 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f. 
ĐS: a/ 1min f f ;
2
ỉ ư= -ç ÷
è ø
 b/ max f f(1).= 
Bài 5. Cho hàm số 
x
2
0
f(x) (t 1)(t 2) dt.= - -ị Tìm điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị f. 
ÔN TẬP TÍCH PHÂN 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 151 
ĐS: 17 4 4 112CT : 1; ; Đ.Uốn : 2; ; ;
12 3 3 81
ỉ ư ỉ ư ỉ ư- -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Bài 6. Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : 2 2x y 5+ = thành 2 phần, 
tính diện tích của mỗi phần. 
ĐS: 1 2
5 5 15 5S ; S .
4 2 4 2
p p
= - = + 
Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C): 1y ; y 0
x
= = ; x = 1; x = 2. Tìm 
toạ độ điểm M trên (C) mà tiếp tuyến tại M sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có 
diện tích lớn nhất. 
ĐS: 3 2M ; .
2 3
ỉ ư
ç ÷
è ø
Bài 8. Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (D) là pháp tuyến tại A của (P) 
((D) vuông góc với tiếp tuyến tại A với (P)). Định vị trí của A để diện tích giới 
hạn đỉnh bởi (P) và (D) là nhỏ nhất. 
ĐS: 4 1 1 1 1min S ; A ; hay A ; .
3 2 4 2 4
ỉ ư ỉ ư= -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 9. Cho hình (H) giới hạn bởi: 
2 2x y 1
16 4
x 4 2
ì
- =ï
í
ï =ỵ
. 
 Tính thể tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. 
ĐS: 128 .
3
p 
Bài 10. Cho hình (H) giới hạn bởi: 
2y ax , a 0
y bx, b 0
ì = >
í
= - >ỵ
. 
 Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox. Tìm hệ thức 
giữa a và b để thể tích khối tròn xoay sinh ra là hằng số, không phụ thuộc vào a 
và b. 
ĐS: b5 = K.a3, với K là hằng số dương bất kỳ. 
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 2y x 4x 3 , y x 3.= - + = + (Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002) 
ĐS: 109
6
 (đvdt). 
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
2 2x xy 4 và y .
4 4 2
= - = (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002) 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 152 
ĐS: 42
3
p + (đvdt). 
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): 3x 1y
x 1
- -
=
-
 và hai trục 
toạ độ. (Đề thi.......................................... khối D_2002) 
ĐS: 41 4 ln
3
+ (đvdt). 
Bài 14. Tính tích phân 
2 3
2
5
dxI .
x x 4
=
+
ị 
 (Đề thi.......................................... khối A_2003) 
ĐS: 1 5ln .
4 3
Bài 15. Tính tích phân 
/ 2 2
0
1 2sin xI dx.
1 sin2x
p -
=
+ị 
 (Đề thi.......................................... khối B_2003) 
ĐS: 1 ln2.
2
Bài 16. Tính tích phân 
2
2
0
I x x dx.= -ị 
 (Đề thi.......................................... khối D_2003) 
ĐS: 1. 
Bài 17. Tính tích phân 
2
1
xI dx.
1 x 1
=
+ +ị 
 (Đề thi.......................................... khối A_2004) 
ĐS: 11 4 ln 2.
3
- 
Bài 18. Tính tích phân 
e
1
1 3ln x.ln xI dx
x
+
= ị 
 (Đề thi.......................................... khối B_2004) 
ĐS: 116 .
135
Bài 19. Tính tích phân 
3
2
2
I ln(x x)dx.= -ị 
 (Đề thi.......................................... khối D_2004) 
ĐS: 3ln3 – 2.