Chuyên đề: Phương trình - BPT - HPT vô tỷ

Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 1 
1. 24 2x x x 2    
2. x 4 1 x 1 2x     
3. 2x 4x 5 3x 17    
4. 23x 19x 20 4x 4    
5. x 12 2x 1 x 3     
PHẦN I 
------------------------------------------------------------------ 
PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH 
------------------------------------------------------------------- 
►
2
B 0
A B
A B

  

 ►
B 0
A B
A B

  

►
B 0
A B
A B

  

 ►
2
B 0
A B A 0
A B
 

  


►
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
 

 
 


TỔNG QUÁT: 
Đối với những những phƣơng trình, bất phƣơng 
trình không có dạng chuẩn nhƣ trên, ta thực hiện: 
- Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa, 
- Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm, 
- Bình phƣơng cả hai vế để khử căn. 
VÍ DỤ - BÀI TẬP 
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 
1. 24 2x x x 2    
 
22
2
x 2 0
4 2x x x 2
x 2 x 2
x 3
x 0 x 3x 3x 0
 
 
   
  
    
     
Vậy: x 3 
2. x 4 1 x 1 2x     
x 4 1 x 1 2x      
Điều kiện: 
x 4 0
1
1 x 0 4 x
2
1 2x 0
 

     
  
2x 4 2 3x 2 2x 3x 1       
22x 1 2x 3x 1     
2 2
2x 1 0
(2x 1) 2x 3x 1
 
 
   
2 2
2x 1 0
4x 4x 1 2x 3x 1
 
 
    
2
1
x
2
2x 7x 0

 
 
  
1
x
2
x 0
7
x 0 x
2

 
  
    

So điều kiện nhận x 0 
Vậy: x 0 
3. 2x 4x 5 3x 17    
2
2 2
2
x 4x 5 0
3x 17 0
x 4x 5 (3x 17)
x 1 x 5 x 1 x 5
17 17
x x
3 3
218x 98x 294 0
x x 7
4
x 7
   

  

   

       

 
    
 
      
 
Vậy: x 7 
4. 23x 19x 20 4x 4    
2 2 2
4x 4 0 4x 4 0
3x 19x 20 0 3x 19x 20 (4x 4)
    
  
       
2
x 1
x 1
4
x 5 x 13x 51x 4 0
3
 
  
       
x 1
4
x 5 x 1 1
3 x 4
13


        
  
4
x 5 x 1 1 x 4
3
         
Vậy: 
4
x 5 x 1 1 x 4
3
         
5. x 12 2x 1 x 3     
x 12 x 3 2x 1      (*) 
CÁC DẠNG CƠ BẢN 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 2 
Điều kiện: 
x 12 0
x 3 0 x 3
2x 1 0
 

   
  
 (*) x 12 x 3 2x 1      
2
2
x 12 x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1)
14 2x 2 (x 3)(2x 1)
(x 3)(2x 1) 7 x
(x 3)(2x 1) 0
7 x 0
(x 3)(2x 1) 49 14x x
1
x x 3
2
x 7
x 9x 52 0
1
x x 3
2
1
x 7 x 3 x 4
2
x 4 x 13
        
    
    
   

  

    

   

 

  


   

       
   


So điều kiện 3 x 4  . 
Vậy: 3 x 4  
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 
1. 
6
3 x 9 5x
3 x
   

 (1) 
Điều kiện: 
3 x 0 9
x
9 5x 0 5
 
 
 
(1) 
29 x 5x 24x 27     
2 2
9 x 0
81 18x x 5x 24x 27
 
 
    
2
x 9
4x 6x 54 0
x 9
9
x x 39
2x x 3
2

 
  


     
   
So điều kiện nhận x 3  
Vậy: x 3  
2. 
2x 16 5
x 3
x 3 x 3

  
 
 (2) 
Điều kiện: 
2 x 4 x 4x 16 0
x 4
x 3x 3 0
      
   
  
Do x 3 0  nên quy đồng bỏ mẫu ta đƣợc: 
(2) 
2x 16 8 x    
2
2 2
x 16 0
8 x 0
8 x 0
x 16 (8 x)
  

 
   
   
x 4 x 4
x 8
x 8
16x 80
    


 


x 8
x 5
5 x 8

    
 So điều kiện nhận x 5 
Vậy: x 5 
3. 2(x 1) 16x 17 8x 15x 23     (3) 
Điều kiện: 
17
16x 17 0 x
16
     
(3)  (x 1) 16x 17 (x 1) 8x 23      
 (x 1) 16x 17 8x 23 0      
x 1
16x 17 8x 23
 
 
  
2
x 1
8x 23 0
16x 17 64x 368x 529
 

  
    
x 1
x 123
x
x 48
x 2 x 4
 
      
   
 So điều kiện nhận x 1  hoặc x 4 
Vậy: x 1  hoặc x 4 
1. 
6
3 x 9 5x
3 x
   

2. 
2x 16 5
x 3
x 3 x 3

  
 
3. 2(x 1) 16x 17 8x 15x 23     
4. 2 2(x 3) x 4 x 9    
5. 
2 22x 8x 6 x 1 2x 2      
6. 
251 2x x
1
1 x
 


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 3 
4. 2 2(x 3) x 4 x 9    (4) 
Điều kiện: 2x 4 0 x 2 x 2       
(4)  2(x 3) x 4 x 3 0      (*) 
Do ta chƣa biết dấu của (x 3) nên ta chia làm 3 
trƣờng hợp: 
 Trƣờng hợp 1: x 3 
(*) 2x 4 x 3    
2
2 2
x 3 0
x 4 0
x 3 0
x 4 x 6x 9
x 3
x 2 x 2
x 3
6x 13
x 3
13
x13
63 x
6
  

 
   
    
  

   
  

 
 
   
   

 Trƣờng hợp 2: x 3 thỏa (*) 
 Trƣờng hợp 3: x 3 
(*) 2x 4 x 3    
2x 4 x 3    
2
2 2
x 4 0
x 3 0
x 4 x 6x 9
  

  

   
x 2 x 2
x 3
6x 13
   

  
  
x 2
x 2 x 313
x
6


    
 
Vậy: 
13
x
6

 hoặc x 3 
5. 
2 22x 8x 6 x 1 2x 2      (5) 
Điều kiện: 
2
2
2x 8x 6 0
x 1 0 x 1 x 1
2x 2 0
   

      
  

 Trƣờng hợp 1: x 1  thỏa (5). 
 Trƣờng hợp 2: x 1 
(5)  
2
(x 1)(2x 6) (x 1)(x 1) 2 x 1        
 
2
2
2x 6 x 1 2 x 1
2x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1) 4(x 1)
2 (2x 6)(x 1) x 1 x 1
4(2x 6)(x 1) (x 1)
7x 18x 25 0
x 1
x 125
x
7
     
        
     
    
   


  
 
Vậy: x 1 hoặc x 1  
6. 
251 2x x
1
1 x
 


 (6) 
Điều kiện: 
251 2x x 0 1 2 13 x 1 2 3
1 x 0 x 1
         
 
   
Do ta chƣa biết dấu của (1 x) nên ta chia làm 2 
trƣờng hợp. 
 Trƣờng hợp 1: 1 x 0 x 1    
(6) 
251 2x x 1 x     
2
2 2
1 x 0
51 2x x 0
51 2x x (1 x)
 

   

   
x 1
1 2 13 x 1 2 13
x 5 x 5


      
    

1 2 13 x 5     
 Trƣờng hợp 2: 1 x 0 x 1    
(6) 
251 2x x 1 x     
2
1 x 0
51 2x x 0
 
 
  
x 1
1 2 13 x 1 2 13

 
     
1 x 1 2 13     
Vậy: 1 2 13 x 5     hoặc 1 x 1 2 13    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 4 
Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 
1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1       
   
2 2
x 4 2 x 4 1 x 1 2 x 1 1 1
x 4 1 x 1 1 1
x 4 1 x 1 1 1 (1)
          
      
      
Điều kiện: 
x 4 0
x 4
x 1 0
 
 
 
(1) x 4 1 x 1 1 1       
x 4 1 2 x 1
2 x 1 0
x 4 1 2 x 1
x 4 1 2 x 1
x 5
VN do x 5 x 4 1
x 1 1 x 4
x 5
x 1 1 x 4 2 x 4
x 5 x 5
x 5
x 5x 4 1
     
   

     

     


    

   

 
     
 
    
  
Vậy: x 5 
2. x 14x 49 x 14x 49 14      
14x 14 14x 49 14x 14 14x 49 14      
2 2( 14x 49 7) ( 14x 49 7) 14       
14x 49 7 14x 49 7 14       (2) 
Điều kiện: 
49
14x 49 0 x
14
    
(2) Đặt t 14x 49 7 14x 49 t 7       
Phƣơng trình trở thành: 
 t 7 7 t 14    
t t t 0     
14x 49 7 0
14x 49 7
7
14x 49 0 x 7
x 72
14x 98 2
x 7
   
  

   
     
  
Vậy: 
7
x 7
2
  
3. 
3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
      
3
x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1
2
           
   
2 2 3
x 1 1 x 1 1
2
       
3
x 1 1 x 1 1
2
       
3
x 1 1 x 1 1
2
       (3) 
Điều kiện: x 1 0 x 1    
(3) 
1
x 1 1 x 1
2
      
1
x 1 1 x 1
2
1
x 1 1 x 1 (*)
2

    
 
     

(*) luôn đúng nên hệ đúng với mọi x thỏa điều kiện. 
Vậy: x 1 
Chú ý: CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH – BẤT 
PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 ►
A B
A B
A B

    
 ►
B 0
A B A B
A B


  
  
 ► A B (A B)(A B) 0     
 ►
A B
A B
A B

  
 
 ► 
A B
A B
A B

   
1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1       
2. x 14x 49 x 14x 49 14      
3. 
3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
      
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 5 
► 3 3 3A B C  
 3 33A B 3 A.B A B C     
Thay 3 3 3A B C  ta đƣợc: 
 3A B 3 A.B.C C    
► f (x) g(x) h(x) k(x)   
Mà có: 
f (x) h(x) g(x) k(x)
f (x).h(x) g(x).k(x)
  
 
 Biến đổi phƣơng trình về dạng: 
f (x) h(x) k(x) g(x)   
 Bình phƣơng, giải phƣơng trình hệ quả 
VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP 
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau: 
w 
1. 3 3 3x 1 x 2 x 3 0      
   
 
3 3 3
3
3 3
3 3 3 3
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3
      
      
          
Ta thay 3 3 3x 1 x 2 x 3      
3
3
2
3 (x 1)(x 2)(x 3) 3(x 2)
(x 1)(x 2)(x 3) (x 2)
(x 2) (x 1)(x 3) (x 2) 0
(x 2)( 1) 0
x 2
      
     
        
   
 
Thử lại nhận x 2 
Vậy: x 2 
Nhận xét: 
 Khi thay 3 3 3x 1 x 2 x 3      ta chỉ nhận 
đƣợc phƣơng trình hệ quả do phƣơng trình đầu chƣa 
biết có nghiệm hay không? 
 Bài toán cũng có thể giải: 
 
3 3 3
3 3 3 3
x 1 x 2 x 3
2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3
      
 
         
2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      (2) 
Điều kiện: 
x 3 0
3x 1 0
x 0
x 0
2x 2 0
 
  
 

  
(2) 3x 1 2x 2 4x x 3 (*)       
2 2
2
5x 3 2 (3x 1)(2x 2) 5x 3 2 4x(x 3)
(3x 1)(2x 2) 4x(x 3)
6x 8x 2 4x 12x
2x 4x 2 0
x 1
        
    
    
   
 
 Thử lại nhận x 1 
Vậy: x 1 
Nhận xét: 
 Do ta chƣa xác định đƣợc 2 vế phƣơng trình 
(*) đều dƣơng nên khi bình phƣơng ta chỉ thu đƣợc 
phƣơng trình hệ quả. 
 Bài toán vẫn có thể giải theo cách biến đổi 
tƣơng đƣơng nhƣng so với cách này thì phức tạp. 
3. 
3
2x 1 x 1 x x 1 x 3
x 3

      

 (3) 
Điều kiện: x 1  
(3)
3
2x 1 x 3 x x 1 x 1
x 3

       

 
2
3 2
2
3
2
x 1
x 3 x x 1 x 1
x 3
x 1
x x 1
x 3
 
        
  

   

2
x 1 3
x 2x 2 0
x 1 3
  
     
 
Thử lại nhận x 1 3  ; x 1 3  
Vậy: x 1 3  ; x 1 3  
Nhận xét chung: 
 Thấy trƣờng hợp phƣơng trình căn bậc ba và 
phƣơng trình chứa bốn căn bậc hai nhƣ trên thì ta có 
thể nghĩ đến phƣơng trình hệ quả. 
 Nếu khi giải cách phƣơng trình ở phần trƣớc 
cảm thấy khó khăn trong việc giải các điều kiện và sợ 
“sót điều kiện” thì ta cũng có thể giải bằng phƣơng 
trinh hệ quả sau đó thử lại. 
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 
1. 3 3 3x 1 x 2 x 3 0      
2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      
3. 
3
2x 1 x 1 x x 1 x 3
x 3

      

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 6 
► a.f (x) b f (x) c 0; a 0.    
Phƣơng pháp: Đặt t f (x), t 0  
► a( A B) b(A B 2 AB) c 0      
Phƣơng pháp: Đặt t A B  
 ... x 4 m      
Ví dụ 4: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 
  1 x 8 x 1 x 8 x m       
Do đó:  x 0;1 3 t 1;2      
Bất phƣơng trình trở thành: 
  2m t 1 t 2   (1) 
2t 2
m
t 1

 

 (do 1 t 2  ) 
Xét hàm số  
2t 2
f t
t 1



 trên tập  1;2 
 
 
 
2
2
t 1 1
f ' t 0
t 1
 
 

 với  t 1;2  
Bảng biến thiên của hàm số  f t 
Bất phƣơng trình đã cho có nghiệm 
x 0;1 3  
 
 bất phƣơng trình  1 có nghiệm 
 t 1;2
 
   
1;2
2
m maxf t f 2
3
    
Vậy : 
2
m
3
 
2 2x 2x 4 x 2x 4 m      
2 2(x 1) 3 (x 1) 3 m       
Điều kiện: D  
Xét hàm số 
   2 2f x x 2x 4 x 2x 4      trên  
 
2 2
x 1 x 1
f ' x
x 2x 4 x 2x 4
 
 
   
2 2
x 1 x 1
f '(x)
(x 1) 3 (x 1) 3
 
  
   
Xét hàm số: 
2
t
y f (t)
t 3
 

2
2 3
2t 3
y ' 0, t
(t 3)

   

 
Do đó: f '(x) 0, x   
Ta có: 
   2 2
x x
lim f x lim x 2x 4 x 2x 4
 
      
2 2x
4x
lim
x 2x 4 x 2x 4

    
x
2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
x x x x


    
2 
   2 2
x x
lim f x lim x 2x 4 x 2x 4
 
      
2 2x
4x
lim
x 2x 4 x 2x 4

    
x
2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
x x x x


     
2  
Bảng biến thiên của hàm số  f x 
Số nghiệm của phƣơng trình đã cho bằng số giao 
điểm của đồ thị hàm số  y f x và đƣờng thẳng 
y m trên  
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phƣơng trình có 
nghiệm 2 m 2   
Vậy: 2 m 2   
   1 x 8 x 1 x 8 x m       
Điều kiện: 1 x 8   
Đặt t 1 x 8 x    
1 1
t '
2 1 x 2 8 x
 
 
 với 1 x 8   
t ' 0 
1 1
0
2 1 x 2 8 x
 
 
x 1 8 x    
7
x 1 8 x x
2
      
x 
f’(x) 
f(x) 
- 
+ 

-2 
2 
t 
f’(t) 
1 
+ 
2 
2
3
1
2
f(t) 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 27 
Ví dụ 5: Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau có 
nghiệm: 
2
3 2
x 3x 4 0
x 3 x x m 15m 0
   

   
Bảng biến thiên: 
Từ đó dẫn đến 3 t 3 2  
Do  
2
2t 1 x 8 x t 1 x 8 x         
  
2t 9
x 1 8 x
2

    
Phƣơng trình đã cho trở thành: 
2t 9
t m
2

  2t 2t 9 2m    
Xét hàm số   2f t t 2t 9   trên tập 3;3 2   
 f ' t 2t 2 0   với x 3;3 2    
Bảng biến thiên: 
Số nghiệm của phƣơng trình đã cho bằng số giao 
điểm của đồ thị hàm số  y f t và đƣờng thẳng 
y 2m trên 3;3 2 
 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phƣơng trình có 
nghiệm 
9 6 2
6 2m 9 6 2 3 m
2

       
Vậy: 
9 6 2
3 m
2

  
2
3 2
x 3x 4 0
x 3 x x m 15m 0
   

   
Ta có: 2x 3x 4 0 1 x 4      . 
Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm 
3 2x 3 x x m 15m 0     có nghiệm  x 1;4  
3 2x 3 x x m 15m    có nghiệm  x 1;4  
Đặt  
3 2
3
3 2
x 3x khi 1 x 0
f x x 3 x x
x 3x khi 0 x 4
    
   
  
 
2
2
3x 6x khi 1 x 0
f ' x
3x 6x khi 0 x 4
    
 
  
  f ' x 0 x 0;x 2     
Bảng biến thiên : 
  2f x m 15m  có nghiệm  x 1;4  
 
  2
1;4
max f x m 15m

   216 m 15m   
2m 15m 16 0 16 m 1       
Vậy: 16 m 1   
Trong quá trình tổng hợp, biên soạn các kiến thức 
không tránh khỏi sai sót, mong Thầy Cô và các bạn 
nhận xét, góp ý. 
Xin chân thành cảm ơn. 
------------- 
Cao Hoàng Nam 
Email: Caohoangnamvn@gmai.com 
Điện thoại: 0907894460 
TP.HCM - 26/06/2011 
x 
f’(x) 
f(x) 
-1 
+ 
4 
-4 
2 
0 2 
0 
0 
- - 
16 
x 
 t’ 
 t 
-1 
- 
3 3 
7
2
8 
0 
+ 
3 2
t 
f’(t) 
f(t) 
3 
6 
3 2
+ 
9 6 2
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 28 
I. PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH: 
Bài 1. (D-02). Giải bất phƣơng trình sau: 
2 2(x 3x) 2x 3x 2 0.    
Bài 2. (A1-02). Giải phƣơng trình sau: 
2x 4 x 4 2x 12 2 x 16       
Bài 3. (A-04). Giải bất phƣơng trình sau: 
 22 x 16 7 x
x 3 .
x 3 x 3
 
  
 
Bài 4. (D2-04). Giải bất phƣơng trình sau: 
2 2x 2x 4x 3 6 2x.     
Bài 5. (A-05). Giải bất phƣơng trình sau: 
5x 1 x 1 2x 4     
Bài 6. (D-05). Giải phƣơng trình sau: 
2 x 2 2 x 1 x 1 4.      
Bài 7. (B1-05). Giải bất phƣơng trình sau: 
28x 6x 1 4x 1 0     
Bài 8. (B2-05). Giải phƣơng trình sau: 
3x 3 5 x 2x 4     
Bài 9. (D2-05). Giải bất phƣơng trình sau: 
2x 7 5 x 3x 2     
Bài 10. (D-06). Giải phƣơng trình sau: 
22x 1 x 3x 1 0     
Bài 11. (B1-06). Giải bất phƣơng trình sau: 
23x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2        
Bài 12. (D2-06). Giải bất phƣơng trình sau: 
2x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1         
Bài 13. (A1-08). Giải bất phƣơng trình sau: 
2(2x 1)
2x 1 3 2x
2

    
Bài 14. (A2-08). Giải bất phƣơng trình sau: 
2 2
1 3x
1
1 x 1 x
 
 
Bài 15. (B1-08). Giải bất phƣơng trình sau: 
10x 1 3x 5 9x 4 2x 2       
Bài 16. (D1-08). Giải bất phƣơng trình sau: 
2 2(x 1)(x 3) x 2x 3 2 (x 1)        
Bài 17. (A-09). Giải bất phƣơng trình sau: 
32 3x 2 3 6 5x 8 0     
Bài 18. (A-10). Giải bất phƣơng trình sau: 
2
x x
1
1 2(x x 1)


  
Bài 19. (B-10). Giải bất phƣơng trình sau: 
23x 1 6 x 3x 14x 8 0       
Bài 20. (D2-10). Giải bất phƣơng trình sau: 
    13 4x 2x 3 4x 3 5 2x     
22 8 16 4x 15    
II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH: 
Bài 1. (B-02). Giải hệ phƣơng trình sau: 
3 x y x y
x y x y 2.
   

   
Bài 2. (A-03). Giải hệ phƣơng trình sau: 
3
1 1
x y
x y
2y x 1

  

  
Bài 3. (B-03). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2
2
2
2
y 2
3y
x
x 2
3x
y
 



 

Bài 4. (A1-05). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2 2x y x y 4
x(x y 1) y(y 1) 2
    

    
Bài 5. (A2-05). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2x y 1 x y 1
3x 2y 4
     

 
Bài 6. (A-06). Giải hệ phƣơng trình sau: 
x y xy 3
x 1 y 1 4
   

   
Bài 7. (A1-06). Giải hệ phƣơng trình sau: 
 
  
2
2
x 1 y y x 4y
x 1 y x 2 y
    

   
Bài 8. (A2-06). Giải hệ phƣơng trình sau: 
 
3 3
2 2
x 8x y 2y
x 3 3 y 1
   

   
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 29 
Bài 9. (B2-06). Giải hệ phƣơng trình sau: 
  
  
2 2
2 2
x y x y 13
x y x y 25
   

  
Bài 10. (D1-06). Giải hệ phƣơng trình sau: 
 
 
2 2
22 2
x xy y 3 x y
x xy y 7 x y
    

   
Bài 11. (A2-07). Giải hệ phƣơng trình sau: 
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1
   

   
Bài 12. (B2-07). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2
3 2
2
23
2xy
x x y
x 2x 9
2xy
y y x
y 2y 9

  
 

   
  
Bài 13. (A-08). Giải hệ phƣơng trình sau: 
 
2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy 1 2x
4

     

     

Bài 14. (B-08). Giải hệ phƣơng trình sau: 
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
x 2xy 6x 6
    

  
Bài 15. (D-08). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2 2xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y
    

   
Bài 16. (B2-08). Giải hệ phƣơng trình sau: 
3
4
x 1 y 8 x
(x 4) y
    

 
Bài 17. (B-09). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
  

  
Bài 18. (D-09). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
   


   
Bài 19. (A-10). Giải hệ phƣơng trình sau: 
2
2 2
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0
4x y 2 3 4x 7
     

   
Bài 20. (D1-10). Giải hệ phƣơng trình sau: 
3 3 3
2 2
27x y 7y 8
9x y y 6x
  

 
Bài 21. (D2-10). Giải hệ phƣơng trình sau : 
 2 4 2 4 2
2
2 x y 2xy y 1 2 2 2 x y
x y x 3
       

   
III. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ m: 
Bài 1. Xác định m để phƣơng trình sau có nghiệm: 
 2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x          
Bài 2. (D-04). Tìm m để hệ phƣơng trình sau có 
nghiệm: 
x y 1
x x y y 1 3m
  

  
Bài 3. (B-06). Tìm m để phƣơng trình sau có hai 
nghiệm thực phân biệt: 
2x mx 2 2x 1    
Bài 4. (A-07). Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 
4 23 x 1 m x 1 2 x 1     
Bài 5. (B-07). Chứng minh với mọi giá trị dƣơng của 
tham số m phƣơng trình luôn có hai nghiệm 
thực dƣơng: 
2x 2x 8 m(x 2)    
Bài 6. (D-07). Tìm giá trị của tham số m để hệ 
phƣơng trình sau có nghiệm thực: 
3 3
3 3
1 1
x y 5
x y
1 1
x y 15m 10
x y

   


     

Bài 7. (A1-07). Tìm m để bất phƣơng trình có nghiệm 
x 0;1 3  
 
: 
   2m x 2x 2 1 x 2 x 0      
Bài 8. (B1-07). Tìm m để phƣơng trình có nghiệm: 
4 2x 1 x m   
Bài 9. (B2-07). Tìm m để phƣơng trình có đúng một 
nghiệm: 
44 x 13x m x 1 0     
Bài 10. (D1-07). Tìm m để phƣơng trình có đúng hai 
nghiệm: 
x 3 2 x 4 x 6 x 4 5 m        
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ CAO HOÀNG NAM 
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 30 
Bài 11. (D2-07). Tìm m để hệ phƣơng trình có nghiệm 
duy nhất: 
2x y m 0
x xy 1
  

 
Bài 12. (A-08). Tìm các giá trị của tham số m để 
phƣơng trình sau có đúng hai nghiệm thực 
phân biệt: 
4 42x 2x 2 6 x 2 6 x m      
------------------------------------------------ 
I. PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH. 
1. 
1
x
2
x 2
x 3

 


 


 2. x 5 
3. x 10 34  4. 
x 0
x 2

  
5. 2 x 10  6. x 3 
7. x 2,x 4  8. 
1
x
4
1
x
2



 

9. 
2
x 1
3
14
x 5
3

 

  

 10. x 1,x 2 2   
11. x 2 12. x 4,x 5  
13. 
1 3
x ;x
2 2

  14. 
1
1 x
2
2
x 1
5

  


 

15. x 3 16. 1 3 x 1 3    
17. x 2  18. 
3 5
x
2

 
19. x 5 20. x 2 
II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH : 
1.  
3 1
1;1 ; ;
2 2
 
 
 
2. 
1 5 1 5 1 5 1 5
(1;1); ; ; ;
2 2 2 2
          
      
   
3.  1;1 
4.        2; 2 ; 2; 2 ; 1; 2 ; 2;1    
5. (2; 1) 6.  3;3 
7.    1;2 ; 2;5 
8. 
6 6 6 6
4 ; ; 4 ;
13 13 13 13
   
       
   
9.    2;3 ; 2; 3  10.      0;0 ; 2;1 ; 1; 2  
11.    1;1 ; 1; 1  12.    1;1 ; 0;0 
13. 3 3
5 25 3
; ; 1;
4 16 2
   
        
14. 
17
4;
4
 
 
 
 15.  5;2 
16.  2;1 17.  
1
1; ; 3;1
3
 
 
 
18.  
3
1;1 ; 2;
2
 
 
 
 19. 
1
;2
2
 
 
 
20. 
1 2
;1 ; ; 2
3 3
   
    
   
21.      2;1 ; 2; 1 ; 4 2; 1 2 ;   
 4 2; 1 2   
III. BIỆN LUẬN THEO THAM SỐ m: 
1. 2 1 m 1   2. 
1
0 m
4
  
3. 
9
m
2
 4. 
7
1 m
2

   
5. 6. 
7
m 2
4
m 22

 


7. 
2
m
3
 8. 0 m 1  
9. 
3
m
2
m 12




 10. 2 m 4  
11. m 2 
12. 42 6 2 6 m 3 2 6    
ĐÁP SỐ 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com