Chuyên đề Khảo sát hàm số - Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Chủ đề 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 CỦA HÀM SỐ 
I- LÝ THUYẾT: 
 1- Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= xác định trên D. 
 a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( )y f x= trên tập D nếu: ( )f x M£ với 
mọi x thuộc D và tồn tại 0x DÎ sao cho 0( )f x M= . Ký hiệu: max ( ) DM f x= 
 b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên tập D nếu: ( )f x m³ với 
mọi x thuộc D và tồn tại 0x DÎ sao cho 0( )f x m= . Ký hiệu: min ( ) Dm f x= 
Tóm tắt: 
M là GTLN của ( )y f x= trên D
0 0
( ) 
: ( )
f x M x D
x D f x M
£ " ÎìÛ í$ Î =î
m là GTNN của ( )y f x= trên D
0 0
( ) 
: ( )
f x m x D
x D f x m
³ " ÎìÛ í$ Î =î
 2- Cách tìm GTLN- GTNN của hàm số trên một đoạn: 
 2-1. Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất trên đoạn đó. 
 2-2. Quy tắc tìm GTLN- GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn: 
 Cho hàm số ( )y f x= xác định và liên tục trên [ ];a b . 
 Bước 1: Tìm các điểm 1 2, ,..., nx x x trên khoảng ( ; )a b , tại đó 
/ ( ) 0f x = hoặc / ( )f x 
không xác định. 
 Bước 2: Tính 1 2( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )nf a f x f x f x f b . 
 Buớc 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: 
[ ];
max ( )
a b
M f x= , 
[ ];
min ( )
a b
m f x= 
Nhận xét: 
1- Thông thường, khi tìm GTLN- GTNN của một hàm số ta thường lập bảng biến 
thiên của hàm số. 
2- Nếu / ( )f x giữ nguyên dấu trên cả đoạn [ ];a b thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến 
trên cả đoạn. Do đó, ( )f x đạt được GTLN, GTNN tại các điểm đầu mút của đoạn. 
II- LUYỆN TẬP: 
Bài tập 1: Tìm GTLN- GTNN (nếu có) của các hàm số sau: 
a) [ ]
2
1( ) , 1;2
1
xf x x
x
+
= Î -
+
 b) 2( ) 4f x x x= + - 
Bài giải : 
a) TXĐ: D R= 
Ta có : 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
22
/
2 2 2 2 2
1 1 . 1 1 11( )
1 1 1 1 1
xx x x x x xxf x
x x x x x
+ - + + - + -+= = =
+ + + + +
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
( ) 0 1 2f x x yÞ = Û = Þ = 
Lập bảng biến thiên: 
Kết luận: 
 [ ]
[ ]
1;2
1;2
( ) 2 1.
( ) 0 1.
Max ®¹t ®­îc t¹i 
Min ®¹t ®­îc t¹i 
f x x
f x x
-
-
= =
= = -
b) Điều kiện: 24 0 2 2x x- ³ Û - £ £ 
Hay TXĐ: [ ]2;2D = - 
Ta có: 
2
/
2 2
4( ) 1
4 4
x x xf x
x x
- -
= - =
- -
Lập bảng biến thiên: 
Dựa vào bảng biến thiên: 
Kết luận: 
[ ]2;2
( ) 2 2Max f x
-
= đạt được tại 2x = . 
[ ]2;2
( ) 2Min f x
-
= - đạt được tại 2x = - . 
Nhận xét: Trong trường hợp, đề bài yêu cầu tìm GTLN- GTNN mà không nói gì thêm, ta hiểu tìm 
GTLN- GTNN trên TXĐ của hàm số đó. 
Bài tập 2: Tìm GTLN- GTNN (nếu có) của các hàm số sau: 
a) 3( ) 2sin sin2 , 0;
2
f x x x x pé ù= + Îê úë û
 b) 2( ) 2sin 2sin 1f x x x= + - 
Bài giải : 
a) TXĐ: D R= . 
Ta có: / ( ) 2cos 2cos2f x x x= + 
/ 2
cos 1
( ) 0 cos cos2 0 2cos cos 1 0 1cos
2
x
f x x x x x
x
= -é
êÞ = Û + = Û + - = Û ê =
ë
2 2
x
f'(x)
f(x)
2
0
-2 20
++ _
-2 2
+ _0
0
2
-1x
f/(x)
f(x)
21
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
* 3cos 1 0;
2
x x pp é ù= - Û = Îê úë û
* 1 3cos 0;
2 3 2
x x p pé ù= Û = Îê úë û
Lúc đó: ( ) ( ) 3 3 30 0, 0, , 2.
3 2 2
f f f fp pp æ ö æ ö= = = = -ç ÷ ç ÷è ø è ø
Kết luận: 
30;
2
3 3( )
2
Max f x
pé ù
ê úë û
= đạt được tại 
3
x p= . 
30;
2
( ) 2Min f x
pé ù
ê úë û
= - đạt được tại 
3
2
x p= . 
b) TXĐ: D R= . 
Đặt [ ]sin 1;1t x t= Þ Î - . 
Lúc đó, xét: ( ) [ ]22 2 1, 1;1 g t t t t= + - Î - 
Ta có: ( ) [ ]/ 14 2 0 1;1
2
g t t t= + = Û = - Î - 
* Tính ( ) ( )1 31 1, , 1 3.
2 2
 g g gæ ö- = - - = - =ç ÷è ø
Kết luận: 
[ ]1;1
( ) 3Max f x
-
= đạt được tại 1: 1 2
2
sint x x kp p= = Û = + . 
[ ]1;1
3( )
2
Min f x
-
= - đạt được tại 
2
1 1 6:
72 2 2
6
sin
x k
t x
x k
p p
p p
é = - +ê
= - = - Û ê
ê = +êë
. 
Chú ý: Kỹ năng GTLN- GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Kiến thức cơ bản: 
Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên D . 
 * ( ): 0 x D f x" Î ³ 
 * Theo định nghĩa: 
( ) ( ) 0 ( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) 0 ( ) 0
 nÕu nÕu 
 hay 
 nÕu nÕu 
f x f x f x y
f x f x
f x f x f x y
³ ³ì ì
= =í í- < - <î î
Suy ra, từ đồ thị (C): ( )y f x= suy ra đồ thị (C’): ( )=y f x . 
Cách vẽ (C’) từ (C): 
 + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): ( )y f x= . 
 + Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Ví dụ minh hoạ: 
Từ đồ thị 3 2( ) : ( ) 1C y f x x x x= = - - + 
suy ra đồ thị: 
 3 2( ') : ( ) 1C y f x x x x= = - - + 
Thể hiện bằng bảng biến thiên ( tránh được việc phát thảo đồ thị ): 
VD: Ta có bảng sau: 
Bài tập 3: Tìm GTLN- GTNN của hàm số sau: [ ]3 2 ( ) 3 72 90 , 5;5f x x x x x= + - + Î - 
Bài giải : 
TXĐ: D R= 
Đặt [ ]3 2( ) 3 72 90, 5;5g x x x x x= + - + Î - 
Ta có: / 2( ) 3 6 72g x x x= + - 
[ ]/ 6 5;5( ) 0
4
x
g x
x
é = - Ï -
= Û ê
=ë
Xét bảng biến thiên: 
Kết luận: 
[ ]5;5
( ) 400Max f x
-
= đạt được tại 5x = - . 
[ ]5;5
( ) 0Min f x
-
= đạt được tại ( )0 5;4x Î - . 
x
y
(C')
(C)
O 1
0
10
0
3
0
0
f(x)
x
f'(x)
f(x)
0
2
+_
-3
-2
10
_
70
86400
-86
-70400
5-5 4
_ +
g(x)
g'(x)
x
f(x= g(x)
0
0