Bộ đề thi thử Đại học, cao đẳng môn Toán - Đề số 13

Trần Sĩ Tùng 
Trường THPT Phan Châu Trinh 
ĐÀ NẴNG 
Đề số 13 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN – Khối D 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 
3
1
xy
x
-
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( )1;1I - và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm 
của đoạn MN. 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: ( )cos3 sin 2 3 sin 3 cos 2+ = +x x x x 
 2) Giải hệ phương trình: ( )x y xy
x y
3 3
2 2
3 4
9
ìï - =
í
=ïî
Câu III (1 điểm): Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: ( )( )2 22 1 1- + + = -m x x m có nghiệm. 
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) 
bằng 
2
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . 
Câu V (1 điểm): Chứng minh ( )a b c ab bc ca a b c
a b b c c a
2 2 2 1
2
+ + + + + ³ + +
+ + +
 với mọi số dương ; ;a b c . 
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Giải bất phương trình: ( ) ( )2 2 21 log log 2 log 6x x x+ + + > - 
 2) Tính: 2ln x dxò 
Câu VII.a (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua ( )2;1M và tạo với các 
trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Giải hệ phương trình : 
2 2
12 3x y
y x x y
+
ì + = +ï
í
=ïî
 2) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 2 1
cos 2 1
xf x
x
-
=
+
. 
Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) , cho điểm 
13;
2
M æ öç ÷
è ø
. Viết phương trình chính tắc của elip 
đi qua điểm M và nhận ( )1 3;0F - làm tiêu điểm. 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k Þ PT ( ): 1 1d y k x= + + . 
 Ta có: d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N 
3: 1
1
xPT kx k
x
-
Û = + +
+
 có 2 nghiệm phân biệt khác 1- . 
 Hay: ( ) 2 2 4 0f x kx kx k= + + + = có 2 nghiệm phân biệt khác 1- 
( )
0
4 0 0
1 4 0
k
k k
f
ì ¹
ï
Û D = - > Û <í
ï - = ¹î
 Mặt khác: 2 2M N Ix x x+ = - = Û I là trung điểm MN với 0k" < . 
 Kết luận: PT đường thẳng cần tìm là 1y kx k= + + với 0k < . 
Câu II: 1) PT cos3 3 sin 3 3 cos 2 sin 2x x x xÛ - = + 1 3 3 1cos3 sin 3 cos 2 sin 2
2 2 2 2
x x x xÛ - = + 
 cos 3 cos 2
3 6
x xp pæ ö æ öÛ + = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Û 
2
6
2
10 5
p p
p p
é = - +ê
ê
ê = - +êë
x k
kx
 2) Ta có : 2 2 9 3x y xy= Û = ± . 
 · Khi: 3xy = , ta có: 3 3 4x y- = và ( )3 3. 27- = -x y 
 Suy ra: ( )3 3; -x y là các nghiệm của phương trình: 2 4 27 0 2 31X X X- - = Û = ± 
 Vậy nghiệm của Hệ PT là 3 32 31, 2 31x y= + = - - hoặc 3 32 31, 2 31x y= - = - + . 
 · Khi: 3xy = - , ta có: 3 3 4x y- = - và ( )3 3. 27- =x y 
 Suy ra: ( )3 3;x y- là nghiệm của phương trình: 2 4 27 0 ( )+ + =X X PTVN 
Câu III: Đặt 2 1t x= + . Điều kiện: 1t ³ . PT trở thành: ( )( ) 22 1 1m t t m- + = - - Û ( )1 1
2
= + ³
+
m t t
t
 Xét hàm số: ( ) ( )
( )2
1 1' 1
2 2
f t t f t
t t
= + Þ = -
+ + ( )
2
2
4 3
2
+ +
=
+
t t
t
 t loaïif t
t loaïi
1 ( )( ) 0
3 ( )
é = -¢ = Û ê = -ë
. Dựa vào BBT, ta kết luận 
4
3
m ³ . 
Câu IV: Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với A¢M. Ta có: ( ' )
'
^ì
Þ ^ Þ ^í ^î
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA
. 
 Mà ' ( ' )
2
aAH A M AH A BC AH^ Þ ^ Þ = . 
 Mặt khác: 2 2 2
1 1 1 6'
4'
aAA
AH A A AM
= + Þ = . 
 Kết luận: 
3
. ' ' '
3 2
16ABC A B C
aV = . 
Câu V: Ta có: 
2 1
22
a ab aba a a ab
a b a b ab
= - ³ - = -
+ +
 (1) 
 Tương tự: 
2 1
2
b b bc
b c
³ -
+
 (2), 
2 1
2
c c ca
c a
³ -
+
 (3). 
 Cộng (1), (2), (3), ta có: ( )
2 2 2 1
2
a b c ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ³ + +
+ + +
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Trần Sĩ Tùng 
Câu VI.a: 1) Điều kiện: 0 6x< < . 
 BPT ( ) ( )222 2log 2 4 log 6x x xÛ + > - ( )22 22 4 6 16 36 0x x x x xÛ + > - Û + - > Û 18x < - hay 2 x< 
 So sánh với điều kiện. Kết luận: Nghiệm của BPT là 2 6x< < . 
 2) Đặt du dxu x xdv dx v x
2 2ln
ìì ï == Þí í
=î ï =î
 . Suy ra : 2 2 2ln ln 2 ln 2= = - = - +ò òI x dx x x dx x x x C 
Câu VII.a: Gọi ( ) ( );0 , 0;A a B b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : 1x yd
a b
+ = . 
 Theo giả thiết, ta có: 
2 1 1
8
ì + =ï
í
ï =î
a b
ab
 Û b a ab
ab
2
8
ì + =
í =î
. 
 · Khi 8ab = thì 2 8b a+ = . Nên: 12; 4 : 2 4 0b a d x y= = Þ + - = . 
 · Khi 8ab = - thì 2 8b a+ = - . Ta có: 2 4 4 0 2 2 2b b b+ - = Û = - ± . 
 + Với ( ) ( )22 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - + Þ - + + - =b d x y 
 + Với ( ) ( )32 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - - Þ + + - + =b d x y . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) 
2 2
1
(1)
2 3 (2)+
ì + = +ï
í
=ïî
x y
y x x y
 (*). 
 Từ (1) ta có: ( )( )2 2 1 0
1
=é
+ = + Û - + - = Û ê = -ë
y x
y x x y y x y x
y x
 · Khi: y x= thì (*) Û x x
y x
12 3 +
ì =
í
=î
 Û 
2
3
2
3
log 3
log 3
=ì
ï
í =ï
î
x
y
. 
 · Khi: 1y x= - thì (*) Û x x
y x
2
1
2 3 -
ì = -
í
=î
 Û 6
6
log 9
1 log 9
=ì
í = -î
x
y
 2) Ta có: ( ) 2tanf x x= - 2
11
cos
= -
x
 Þ ( ) tanF x x x C= - + 
Câu VII.b: PTCT elip (E) có dạng: 
2 2
2 2 1( 0)
x y a b
a b
+ = > > . 
 Ta có: 
2 2
2 2
3
1
4
3 1
a b
a b
- =
+ =
ì
ï
í
ïî
 Û a
b
2
2
4
1
ìï =
í
=ïî
. Vậy (E): 
2 2
1
4 1
x y
+ = 
=====================