Bài tập Nguyên hàm - Tích phân

NGUYÊN HÀM
I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa
	a/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu ta có .
	b/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu ta có và .
Nhận xét:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì cũng là nguyên hàm của f(x). Do đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác nhau hằng số C.
Ký hiệu: .
2. Tính chất
	a/ 
b/ 
c/ .
3. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
4. Bài tập
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1/ 	2/ 	
3/ 	4/ 	
5/	6/ 
7/ 	8/ 
9/ 	10/ 
11/ 	12/ 
13/ 	14/ 15/ 	16/ 
17/ 	18/ 	
19/ 	20/ 	
21/ 	22/ 
23/ 	24/ 	
25/ 	26/ 
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:
1/ , 	2/, 3/ , 	4/, 
5/ , 
TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với ta gọi hiệu là tích phân từ a đến b của f(x).
Ký hiệu: 
(công thức Newton - Leibniz).
+ Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân.
+ f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x).
+ a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b).
+ x là biến số tích phân.
Nhận xét:
.
2. Tính chất
Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng và ta có
1/ 
2/ 
3/ 
5/ 
6/ 
4. Bài tập
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng định nghĩa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
 Bài 1 : Tính các tích phân :
	1/ 2/ 3/ 	4/
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/ 	 2/	3/ 4/ 5/	6/ 7/	8/ 9/ 10/
Bài 3 : Tính các tích phân :
	1/ 2/ 3/ 4/
5/	 6/ 7/ 8/
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ( trong đó u(x) là hàm số biến x)
*Phương pháp: 
 + Đặt t = u(x) dt = u’(x)dx
 + Đổi cận : Khi x = at = u(a), khi x = b t= u(b)
 + Thay thế : 
 Khi đó = 
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập.
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/ 	2/ 3/4/	5/	6/
Bài 2 : Tính các tích phân :
	1/	2/	3/
	4/	5/	6/
Bài 3 :Tính các tích phân :
	1/	2/	3/	
4/	5/	6/	7/	8/	9/
10/	11/	12/
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ( trong đó u(x), v’(x) là những hàm số biến x)
*Phương pháp: 
 + Đặt ta có 
 Khi đó = -
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, ...
 - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/	 2/	3/
4/	5/	6/	7/	8/	9/
	10/	11/	12/	
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* Aùp dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức ,mà không thể tính bằng các phương đã học .
*Phương pháp: 
 + Đặt biến mới 
 -Dạng chứa  : Đặt x = asint, t
 - Dạng chứa  : Đặt x = atant, t
 + Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính các tích phân sau :
	1/ ( a > 0 ) 2/	3/
	4/	5/	6/
	7/	8/	9/
BÀI TẬP ÔN TẬP
BÀI 1 : Chứng minh : 
BÀI 2 : Tính các tích phân sau : 
	1) 	 2) 	
4) 	5) 	6)	
7) 	8) 	9)	
10) 	11) 	12) 
13) 	14) 	15) 	16) 	17) 	 18) 	
19) 	20) 	21) 	 22) 	23)	24) 
25) 	26) 	27) 
28) 	29)	 30) 	31)	 32) 	33) 
34) 	35) 	36) 	37)	 38)	39)
40)	 41) 	42)
43)	44) 	45)
46) 	47)	 48)	49)	 50) 	51) 
 	52) 	53)	 54)
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:
1) Giới hạn bởi (P): y = x2 và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2).
2) Giới hạn bởi (C ) : y = , đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x = ( > 2)
Tính để diện tích S = 16 đvdt
3) Giới hạn bởi : y2 = 4x và đường thẳng 2x – y – 4 = 0
4) Giới hạn bởi : y = x và y = sin2x + x (0 x ).
5) Giới hạn bởi y = x3 – 3x2 + 2x ; y = 0
6) Giới hạn bởi y = x2 – 2x ; y = x + 4
7) Giới hạn bởi : y 2 = 2x và 27 y2 = 8 ( x- 1)3 
8) Giới hạn bởi các đường : 
 y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1.
 9) Giới hạn bởi y = x2 – 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2.	
10) Giới hạn bởi y2 = x ; y = – x + 2.
 11)Giới hạn bởi và đường thẳng y = 0 
BÀI 2 : Cho Parapol (P). Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2 .
Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất. 
BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox
y = - x2 + 2x và y = 0
y = sin x, y = 0, x = 
y = cosx , y = 0, x = 0, x = 
y = và y = 5 – x 
y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2
Cho hàm số y = f(x) được xác định trên đoạn với : f(x) = 
a/ Vẽ đồ thị hàm số y = f (x)
b/ Tính diện tích của hình (H) chắn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox
c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình (H) khi quay quanh Ox
7) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y = x2 – 1 và y = 0.
BÀI 4 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cácđường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 ; y = x2 – 2x
1) Tính diện tích hình (H).
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)xoay xung quanh trục Ox.
BÀI 5 :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
 y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1.
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y = x2 – 1 và y = 0.
BÀI 6 : 
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2 + 2x +1 ; y = – và x = –
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : 
x = 0 ; x = ; y = 0 ; y =